Theorem modnegd 13931

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modnegd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
modnegd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
modnegd	⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modnegd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		1zzd 12631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	znegcld 12706	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5		modnegd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6		modnegd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
7		modmul1 13929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	syl221anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9	1	recnd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		1cnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcomd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
13	9	mulm1d 11704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	12, 13	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
15	14	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
16	2	recnd 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 11	mulcomd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
18	16	mulm1d 11704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
19	17, 18	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
20	19	oveq1d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
21	8, 15, 20	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   · cmul 11151  -cneg 11483  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13014   mod cmo 13874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875

This theorem is referenced by:  modsub12d  13933