Theorem modnegd 13870

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modnegd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
modnegd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
modnegd	⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modnegd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		1zzd 12572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	znegcld 12647	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5		modnegd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6		modnegd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
7		modmul1 13868	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	syl221anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9	1	recnd 11221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		1cnd 11188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcomd 11214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
13	9	mulm1d 11645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	12, 13	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
15	14	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
16	2	recnd 11221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 11	mulcomd 11214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
18	16	mulm1d 11645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
19	17, 18	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
20	19	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
21	8, 15, 20	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7390  ℝcr 11088  1c1 11090   · cmul 11094  -cneg 11424  ℤcz 12537  ℝ⁺crp 12953   mod cmo 13813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-fl 13736  df-mod 13814

This theorem is referenced by:  modsub12d  13872