Theorem modnegd 14096

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modnegd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
modnegd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
modnegd	⊢ (𝜑 → ( -𝐴 mod 𝐶) = ( -𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modnegd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		1zzd 12754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4	3	znegcld 12832	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5		modnegd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6		modnegd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
7		modmul1 14094	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ( -1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶)) → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	syl221anc 1409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9	1	recnd 11364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		1cnd 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = ( -1 · 𝐴))
13	9	mulm1d 11795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
14	12, 13	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
15	14	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ( -𝐴 mod 𝐶))
16	2	recnd 11364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16, 11	mulcomd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = ( -1 · 𝐵))
18	16	mulm1d 11795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐵) = -𝐵)
19	17, 18	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
20	19	oveq1d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = ( -𝐵 mod 𝐶))
21	8, 15, 20	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 mod 𝐶) = ( -𝐵 mod 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   · cmul 11232   -cneg 11569  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037

This theorem is used by:  modsub12d  14098