![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > modnegd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
modnegd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
modnegd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
modnegd.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
modnegd.4 | โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) |
Ref | Expression |
---|---|
modnegd | โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modnegd.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | modnegd.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1zzd 12594 | . . . 4 โข (๐ โ 1 โ โค) | |
4 | 3 | znegcld 12669 | . . 3 โข (๐ โ -1 โ โค) |
5 | modnegd.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) | |
6 | modnegd.4 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) | |
7 | modmul1 13892 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (-1 โ โค โง ๐ถ โ โ+) โง (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 4, 5, 6, 7 | syl221anc 1378 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ)) |
9 | 1 | recnd 11243 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
10 | 1cnd 11210 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
11 | 10 | negcld 11559 | . . . . 5 โข (๐ โ -1 โ โ) |
12 | 9, 11 | mulcomd 11236 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด)) |
13 | 9 | mulm1d 11667 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด) |
14 | 12, 13 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = -๐ด) |
15 | 14 | oveq1d 7419 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ด mod ๐ถ)) |
16 | 2 | recnd 11243 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
17 | 16, 11 | mulcomd 11236 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = (-1 ยท ๐ต)) |
18 | 16 | mulm1d 11667 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต) |
19 | 17, 18 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = -๐ต) |
20 | 19 | oveq1d 7419 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
21 | 8, 15, 20 | 3eqtr3d 2774 | 1 โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7404 โcr 11108 1c1 11110 ยท cmul 11114 -cneg 11446 โคcz 12559 โ+crp 12977 mod cmo 13837 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-sup 9436 df-inf 9437 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-fl 13760 df-mod 13838 |
This theorem is referenced by: modsub12d 13896 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |