expdiophlem2 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > expdiophlem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem expdiophlem2 41746

Description: Lemma for expdioph 41747. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
expdiophlem2	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdiophlem2 Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8839	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ₀)
2		3nn 12287	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 41735	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (1...3)
4		ffvelcdm 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ₀ ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ₀)
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ₀)
6		expdiophlem1 41745	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) ∈ ℕ₀ → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
8	7	rabbiia 3436	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))}
9		3nn0 12486	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
10		fvex 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘5) ∈ V
11		fvex 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘6) ∈ V
12		eqeq1 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → (𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))))
13	12	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2)))))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2)))))
15		eqeq1 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → (𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))))
16	15	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2)))))
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2)))))
18		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → 𝑑 = (𝑒‘6))
19		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
21	18, 20	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) = ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))))
22	21	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))
23	22	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))
24	23	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))
25	17, 24	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))
26	14, 25	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))
27	26	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
28	27	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))))
29	10, 11, 28	sbc2ie 3859	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
30	29	sbcbii 3836	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
31	30	sbcbii 3836	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
32		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
33	32	resex 6027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ↾ (1...3)) ∈ V
34		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒‘4) ∈ V
35		df-2 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
36		df-3 12272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
37		ssid 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
38	36, 37	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
39	35, 38	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
40		1nn 12219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...1)
42	39, 41	sselii 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...3)
43	42	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
44	43	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)))
45		2nn 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
46	45	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...2)
47	46, 36, 45	jm2.27dlem2 41734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (1...3)
48	47	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
49	48	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑒‘2) ∈ ℕ))
50	44, 49	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
52	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → 𝑏 = (𝑒‘4))
54	48	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) + 1) = ((𝑒‘2) + 1))
55	43, 54	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1)) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))
56	53, 55	eqeqan12rd 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1)) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))))
57	52, 56	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))))
58		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2)))
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2)))
60	53, 48	oveqan12rd 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))
61	60	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))))
62	59, 61	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))))
63	53, 48	oveqan12rd 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 X_rm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))
64	63	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))))
65	59, 64	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))))
66	3	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
68		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (2 · 𝑏) = (2 · (𝑒‘4)))
69	68, 43	oveqan12rd 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) = ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)))
70	43	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
72	69, 71	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) = (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)))
73	72	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) = ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1))
74	67, 73	breq12d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ↔ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)))
75		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → 𝑏 = (𝑒‘4))
76	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
77	75, 76	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 − (𝑎‘1)) = ((𝑒‘4) − (𝑒‘1)))
78	77	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)) = (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))
79	78	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) = ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))))
80	79, 67	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))
81	73, 80	breq12d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))
82	74, 81	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))
83	65, 82	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))
84	62, 83	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))
85	57, 84	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
86	51, 85	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))))
87	33, 34, 86	sbc2ie 3859	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
88	31, 87	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
89	88	rabbii 3438	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} = {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))}
90		6nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
91		2z 12590	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
92		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (1...6) ∈ V
93		df-4 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (3 + 1)
94		df-5 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 = (4 + 1)
95		df-6 12275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 = (5 + 1)
96		ssid 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...6) ⊆ (1...6)
97	95, 96	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...5) ⊆ (1...6)
98	94, 97	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...4) ⊆ (1...6)
99	93, 98	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...3) ⊆ (1...6)
100	36, 99	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) ⊆ (1...6)
101	35, 100	jm2.27dlem5 41737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...1) ⊆ (1...6)
102	101, 41	sselii 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (1...6)
103		mzpproj 41460	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
104	92, 102, 103	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
105		eluzrabdioph 41529	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘6))
106	90, 91, 104, 105	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘6)
107	100, 46	sselii 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...6)
108		mzpproj 41460	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
109	92, 107, 108	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
110		elnnrabdioph 41530	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6))
111	90, 109, 110	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)
112		anrabdioph 41503	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6))
113	106, 111, 112	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6)
114		elmapi 8839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) → 𝑒:(1...6)⟶ℕ₀)
115		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒:(1...6)⟶ℕ₀ ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ₀)
116	114, 107, 115	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ₀)
117		peano2nn0 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒‘2) ∈ ℕ₀ → ((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ₀)
118		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))
119	118	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))))
120	119	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))))
121	120	ceqsrexv 3642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ₀ → (∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))))
122	116, 117, 121	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) → (∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))))
123	122	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))))
124	123	rabbiia 3436	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))} = {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))}
125		vex 3478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
126	125	resex 6027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ↾ (1...6)) ∈ V
127		fvex 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎‘7) ∈ V
128		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑎‘7) → 𝑏 = (𝑎‘7))
129	107	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘2) = (𝑎‘2))
130	129	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → ((𝑒‘2) + 1) = ((𝑎‘2) + 1))
131	128, 130	eqeqan12rd 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ↔ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)))
132	102	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
134	133	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)))
135		4nn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
136	135	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ (1...4)
137	98, 136	sselii 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...6)
138	137	jm2.27dlem1 41733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
140	132, 128	oveqan12d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))
141	139, 140	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))
142	134, 141	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))))
143	131, 142	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))))
144	126, 127, 143	sbc2ie 3859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))))
145	144	rabbii 3438	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))} = {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))}
146		7nn0 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
147		ovex 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...7) ∈ V
148		7nn 12300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
149	148	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ (1...7)
150		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
151	147, 149, 150	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
152		df-7 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (6 + 1)
153		6nn 12297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
154	107, 152, 153	jm2.27dlem2 41734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...7)
155		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
156	147, 154, 155	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
157		1z 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
158		mzpconstmpt 41463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
159	147, 157, 158	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))
160		mzpaddmpt 41464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
161	156, 159, 160	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
162		eqrabdioph 41500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7))
163	146, 151, 161, 162	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7)
164		rmydioph 41738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Y_rm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
165		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑎‘1))
166	165	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)))
167		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑎‘4))
168		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑎‘7))
169	165, 168	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) Y_rm (𝑏‘2)) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))
170	167, 169	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Y_rm (𝑏‘2)) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))
171	166, 170	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Y_rm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))))
172	102, 152, 153	jm2.27dlem2 41734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...7)
173	137, 152, 153	jm2.27dlem2 41734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ (1...7)
174	171, 172, 149, 173	rabren3dioph 41538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑏 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Y_rm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7))
175	146, 164, 174	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)
176		anrabdioph 41503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7))
177	163, 175, 176	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7)
178	145, 177	eqeltri 2829	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)
179	152	rexfrabdioph 41518	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6))
180	90, 178, 179	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6)
181	124, 180	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6)
182		rmydioph 41738	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
183		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
184	183	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2)))
185		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘5))
186		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
187	183, 186	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))
188	185, 187	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))))
189	184, 188	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))))
190		5nn 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
191	190	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (1...5)
192	191, 95, 190	jm2.27dlem2 41734	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (1...6)
193	189, 137, 107, 192	rabren3dioph 41538	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
194	90, 182, 193	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
195		rmxdioph 41740	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) X_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
196		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
197	196	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2)))
198		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘6))
199		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
200	196, 199	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) X_rm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))
201	198, 200	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) X_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))))
202	197, 201	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) X_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))))
203	153	jm2.27dlem3 41735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ (1...6)
204	202, 137, 107, 203	rabren3dioph 41538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) X_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
205	90, 195, 204	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
206	99, 3	sselii 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ (1...6)
207		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
208	92, 206, 207	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
209		mzpconstmpt 41463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
210	92, 91, 209	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6))
211		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
212	92, 137, 211	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
213		mzpmulmpt 41465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
214	210, 212, 213	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
215		mzpmulmpt 41465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
216	214, 104, 215	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
217		2nn0 12485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
218		mzpexpmpt 41468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
219	104, 217, 218	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
220		mzpsubmpt 41466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
221	216, 219, 220	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
222		mzpconstmpt 41463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
223	92, 157, 222	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))
224		mzpsubmpt 41466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
225	221, 223, 224	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
226		ltrabdioph 41531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6))
227	90, 208, 225, 226	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6)
228		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
229	92, 203, 228	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
230		mzpsubmpt 41466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
231	212, 104, 230	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
232		mzpproj 41460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
233	92, 192, 232	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
234		mzpmulmpt 41465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
235	231, 233, 234	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
236		mzpsubmpt 41466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
237	229, 235, 236	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
238		mzpsubmpt 41466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
239	237, 208, 238	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
240		dvdsrabdioph 41533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑_m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6))
241	90, 225, 239, 240	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)
242		anrabdioph 41503	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6))
243	227, 241, 242	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)
244		anrabdioph 41503	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6))
245	205, 243, 244	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)
246		anrabdioph 41503	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6))
247	194, 245, 246	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)
248		anrabdioph 41503	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6))
249	181, 247, 248	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)
250		anrabdioph 41503	. . . . 5 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6))
251	113, 249, 250	mp2an 690	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Y_rm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Y_rm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) X_rm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
252	89, 251	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
253	93, 94, 95	3rexfrabdioph 41520	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑒 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3))
254	9, 252, 253	mp2an 690	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Y_rm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Y_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 X_rm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3)
255	8, 254	eqeltri 2829	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3070 {crab 3432 Vcvv 3474 [wsbc 3776 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ↾ cres 5677 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ↑_m cmap 8816 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11244 − cmin 11440 ℕcn 12208 2c2 12263 3c3 12264 4c4 12265 5c5 12266 6c6 12267 7c7 12268 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ...cfz 13480 ↑cexp 14023 ∥ cdvds 16193 mzPolycmzp 41445 Diophcdioph 41478 X_rm crmx 41623 Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-ef 16007 df-sin 16009 df-cos 16010 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-prm 16605 df-numer 16667 df-denom 16668 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-limc 25374 df-dv 25375 df-log 26056 df-mzpcl 41446 df-mzp 41447 df-dioph 41479 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568 df-rmx 41625 df-rmy 41626

This theorem is referenced by: expdioph 41747

W3C validator