Theorem expdiophlem2 39612

Description: Lemma for expdioph 39613. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem2	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdiophlem2

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8422	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2		3nn 11710	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 39601	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (1...3)
4		ffvelrn 6843	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
5	1, 3, 4	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
6		expdiophlem1 39611	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) ∈ ℕ0 → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
8	7	rabbiia 3472	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))}
9		3nn0 11909	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10		fvex 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘5) ∈ V
11		fvex 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘6) ∈ V
12		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → (𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))))
13	12	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
14	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
15		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → (𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
17	16	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
18		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → 𝑑 = (𝑒‘6))
19		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
20	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
21	18, 20	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) = ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))))
22	21	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))
23	22	breq2d 5070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))
25	17, 24	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))
26	14, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))
27	26	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
28	27	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))))
29	10, 11, 28	sbc2ie 3849	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
30	29	sbcbii 3828	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
31	30	sbcbii 3828	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
32		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
33	32	resex 5893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ↾ (1...3)) ∈ V
34		fvex 6677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒‘4) ∈ V
35		df-2 11694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
36		df-3 11695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
37		ssid 3988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
38	36, 37	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
39	35, 38	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
40		1nn 11643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...1)
42	39, 41	sselii 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...3)
43	42	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
44	43	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
45		2nn 11704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
46	45	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...2)
47	46, 36, 45	jm2.27dlem2 39600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (1...3)
48	47	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
49	48	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑒‘2) ∈ ℕ))
50	44, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
51	50	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
52	44	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → 𝑏 = (𝑒‘4))
54	48	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) + 1) = ((𝑒‘2) + 1))
55	43, 54	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
56	53, 55	eqeqan12rd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
57	52, 56	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
58		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
59	58	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
60	53, 48	oveqan12rd 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
61	60	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
62	59, 61	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
63	53, 48	oveqan12rd 7170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
64	63	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
65	59, 64	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
66	3	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
67	66	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
68		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (2 · 𝑏) = (2 · (𝑒‘4)))
69	68, 43	oveqan12rd 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) = ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)))
70	43	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
71	70	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
72	69, 71	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) = (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)))
73	72	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) = ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1))
74	67, 73	breq12d 5071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ↔ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)))
75		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → 𝑏 = (𝑒‘4))
76	43	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
77	75, 76	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 − (𝑎‘1)) = ((𝑒‘4) − (𝑒‘1)))
78	77	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)) = (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))
79	78	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) = ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))))
80	79, 67	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))
81	73, 80	breq12d 5071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))
82	74, 81	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))
83	65, 82	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))
84	62, 83	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))
85	57, 84	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
86	51, 85	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))))
87	33, 34, 86	sbc2ie 3849	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
88	31, 87	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
89	88	rabbii 3473	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))}
90		6nn0 11912	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
91		2z 12008	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
92		ovex 7183	. . . . . . . 8 ⊢ (1...6) ∈ V
93		df-4 11696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (3 + 1)
94		df-5 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 = (4 + 1)
95		df-6 11698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 = (5 + 1)
96		ssid 3988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...6) ⊆ (1...6)
97	95, 96	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...5) ⊆ (1...6)
98	94, 97	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...4) ⊆ (1...6)
99	93, 98	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...3) ⊆ (1...6)
100	36, 99	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) ⊆ (1...6)
101	35, 100	jm2.27dlem5 39603	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...1) ⊆ (1...6)
102	101, 41	sselii 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (1...6)
103		mzpproj 39327	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
104	92, 102, 103	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
105		eluzrabdioph 39396	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6))
106	90, 91, 104, 105	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6)
107	100, 46	sselii 3963	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...6)
108		mzpproj 39327	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
109	92, 107, 108	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
110		elnnrabdioph 39397	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6))
111	90, 109, 110	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)
112		anrabdioph 39370	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6))
113	106, 111, 112	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6)
114		elmapi 8422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → 𝑒:(1...6)⟶ℕ0)
115		ffvelrn 6843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒:(1...6)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
116	114, 107, 115	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
117		peano2nn0 11931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒‘2) ∈ ℕ0 → ((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0)
118		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
119	118	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
120	119	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
121	120	ceqsrexv 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
122	116, 117, 121	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
123	122	bicomd 225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))))
124	123	rabbiia 3472	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))}
125		vex 3497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
126	125	resex 5893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ↾ (1...6)) ∈ V
127		fvex 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎‘7) ∈ V
128		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑎‘7) → 𝑏 = (𝑎‘7))
129	107	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘2) = (𝑎‘2))
130	129	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → ((𝑒‘2) + 1) = ((𝑎‘2) + 1))
131	128, 130	eqeqan12rd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ↔ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)))
132	102	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
133	132	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
134	133	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
135		4nn 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
136	135	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ (1...4)
137	98, 136	sselii 3963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...6)
138	137	jm2.27dlem1 39599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
139	138	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
140	132, 128	oveqan12d 7169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
141	139, 140	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
142	134, 141	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
143	131, 142	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))))
144	126, 127, 143	sbc2ie 3849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
145	144	rabbii 3473	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))}
146		7nn0 11913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ0
147		ovex 7183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...7) ∈ V
148		7nn 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
149	148	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ (1...7)
150		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
151	147, 149, 150	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
152		df-7 11699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (6 + 1)
153		6nn 11720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
154	107, 152, 153	jm2.27dlem2 39600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...7)
155		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
156	147, 154, 155	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
157		1z 12006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
158		mzpconstmpt 39330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
159	147, 157, 158	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))
160		mzpaddmpt 39331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
161	156, 159, 160	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
162		eqrabdioph 39367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7))
163	146, 151, 161, 162	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7)
164		rmydioph 39604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
165		simp1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑎‘1))
166	165	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
167		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑎‘4))
168		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑎‘7))
169	165, 168	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
170	167, 169	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
171	166, 170	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
172	102, 152, 153	jm2.27dlem2 39600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...7)
173	137, 152, 153	jm2.27dlem2 39600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ (1...7)
174	171, 172, 149, 173	rabren3dioph 39405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7))
175	146, 164, 174	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)
176		anrabdioph 39370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7))
177	163, 175, 176	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7)
178	145, 177	eqeltri 2909	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)
179	152	rexfrabdioph 39385	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6))
180	90, 178, 179	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6)
181	124, 180	eqeltri 2909	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6)
182		rmydioph 39604	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
183		simp1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
184	183	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
185		simp3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘5))
186		simp2 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
187	183, 186	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
188	185, 187	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
189	184, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
190		5nn 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
191	190	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (1...5)
192	191, 95, 190	jm2.27dlem2 39600	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (1...6)
193	189, 137, 107, 192	rabren3dioph 39405	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
194	90, 182, 193	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
195		rmxdioph 39606	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
196		simp1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
197	196	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
198		simp3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘6))
199		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
200	196, 199	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
201	198, 200	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
202	197, 201	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
203	153	jm2.27dlem3 39601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ (1...6)
204	202, 137, 107, 203	rabren3dioph 39405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
205	90, 195, 204	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
206	99, 3	sselii 3963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ (1...6)
207		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
208	92, 206, 207	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
209		mzpconstmpt 39330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
210	92, 91, 209	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6))
211		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
212	92, 137, 211	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
213		mzpmulmpt 39332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
214	210, 212, 213	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
215		mzpmulmpt 39332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
216	214, 104, 215	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
217		2nn0 11908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
218		mzpexpmpt 39335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
219	104, 217, 218	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
220		mzpsubmpt 39333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
221	216, 219, 220	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
222		mzpconstmpt 39330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
223	92, 157, 222	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))
224		mzpsubmpt 39333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
225	221, 223, 224	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
226		ltrabdioph 39398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6))
227	90, 208, 225, 226	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6)
228		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
229	92, 203, 228	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
230		mzpsubmpt 39333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
231	212, 104, 230	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
232		mzpproj 39327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
233	92, 192, 232	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
234		mzpmulmpt 39332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
235	231, 233, 234	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
236		mzpsubmpt 39333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
237	229, 235, 236	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
238		mzpsubmpt 39333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
239	237, 208, 238	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
240		dvdsrabdioph 39400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6))
241	90, 225, 239, 240	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)
242		anrabdioph 39370	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6))
243	227, 241, 242	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)
244		anrabdioph 39370	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6))
245	205, 243, 244	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)
246		anrabdioph 39370	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6))
247	194, 245, 246	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)
248		anrabdioph 39370	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6))
249	181, 247, 248	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)
250		anrabdioph 39370	. . . . 5 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6))
251	113, 249, 250	mp2an 690	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
252	89, 251	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
253	93, 94, 95	3rexfrabdioph 39387	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3))
254	9, 252, 253	mp2an 690	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3)
255	8, 254	eqeltri 2909	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494  [wsbc 3771   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   − cmin 10864  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  5c5 11689  6c6 11690  7c7 11691  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  ↑cexp 13423   ∥ cdvds 15601  mzPolycmzp 39312  Diophcdioph 39345   X_rm crmx 39490   Y_rm crmy 39491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-numer 16069  df-denom 16070  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-mzpcl 39313  df-mzp 39314  df-dioph 39346  df-squarenn 39431  df-pell1qr 39432  df-pell14qr 39433  df-pell1234qr 39434  df-pellfund 39435  df-rmx 39492  df-rmy 39493

This theorem is referenced by:  expdioph  39613