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Theorem expdiophlem2 39125
Description: Lemma for expdioph 39126. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdiophlem2
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8285 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 3nn 11570 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 39114 . . . . 5 3 ∈ (1...3)
4 ffvelrn 6721 . . . . 5 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 586 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
6 expdiophlem1 39124 . . . 4 ((𝑎‘3) ∈ ℕ0 → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
75, 6syl 17 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
87rabbiia 3420 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))}
9 3nn0 11769 . . 3 3 ∈ ℕ0
10 fvex 6558 . . . . . . . . 9 (𝑒‘5) ∈ V
11 fvex 6558 . . . . . . . . 9 (𝑒‘6) ∈ V
12 eqeq1 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑒‘5) → (𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))))
1312anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
15 eqeq1 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝑒‘6) → (𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))))
1615anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝑒‘6) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → 𝑑 = (𝑒‘6))
19 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
2118, 20oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) = ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))))
2221oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))
2322breq2d 4980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))
2423anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))
2517, 24anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))
2614, 25anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))
2726anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
2827anbi2d 628 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))))
2910, 11, 28sbc2ie 3784 . . . . . . . 8 ([(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
3029sbcbii 3763 . . . . . . 7 ([(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
3130sbcbii 3763 . . . . . 6 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
32 vex 3443 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
3332resex 5787 . . . . . . 7 (𝑒 ↾ (1...3)) ∈ V
34 fvex 6558 . . . . . . 7 (𝑒‘4) ∈ V
35 df-2 11554 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
36 df-3 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
37 ssid 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) ⊆ (1...3)
3836, 37jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...2) ⊆ (1...3)
3935, 38jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . . . . 13 (1...1) ⊆ (1...3)
40 1nn 11503 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
4140jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (1...1)
4239, 41sselii 3892 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...3)
4342jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
4443eleq1d 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)))
45 2nn 11564 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
4645jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (1...2)
4746, 36, 45jm2.27dlem2 39113 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (1...3)
4847jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
4948eleq1d 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑒‘2) ∈ ℕ))
5044, 49anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
5244adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)))
53 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑒‘4) → 𝑏 = (𝑒‘4))
5448oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) + 1) = ((𝑒‘2) + 1))
5543, 54oveq12d 7041 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
5653, 55eqeqan12rd 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
5752, 56anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
58 eleq1 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑒‘4) → (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
6053, 48oveqan12rd 7043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
6160eqeq2d 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
6259, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
6353, 48oveqan12rd 7043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
6463eqeq2d 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
6559, 64anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
663jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
68 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑒‘4) → (2 · 𝑏) = (2 · (𝑒‘4)))
6968, 43oveqan12rd 7043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) = ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)))
7043oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
7269, 71oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) = (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)))
7372oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) = ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1))
7467, 73breq12d 4981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ↔ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)))
75 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → 𝑏 = (𝑒‘4))
7643adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
7775, 76oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 − (𝑎‘1)) = ((𝑒‘4) − (𝑒‘1)))
7877oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)) = (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))
7978oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) = ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))))
8079, 67oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))
8173, 80breq12d 4981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))
8274, 81anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))
8365, 82anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))
8462, 83anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))
8557, 84anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8651, 85anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))))
8733, 34, 86sbc2ie 3784 . . . . . 6 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8831, 87bitri 276 . . . . 5 ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
8988rabbii 3421 . . . 4 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))}
90 6nn0 11772 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
91 2z 11868 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
92 ovex 7055 . . . . . . . 8 (1...6) ∈ V
93 df-4 11556 . . . . . . . . . . . 12 4 = (3 + 1)
94 df-5 11557 . . . . . . . . . . . . 13 5 = (4 + 1)
95 df-6 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
96 ssid 3916 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...6) ⊆ (1...6)
9795, 96jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . . . . 13 (1...5) ⊆ (1...6)
9894, 97jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . . . 12 (1...4) ⊆ (1...6)
9993, 98jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . . 11 (1...3) ⊆ (1...6)
10036, 99jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . . 10 (1...2) ⊆ (1...6)
10135, 100jm2.27dlem5 39116 . . . . . . . . 9 (1...1) ⊆ (1...6)
102101, 41sselii 3892 . . . . . . . 8 1 ∈ (1...6)
103 mzpproj 38840 . . . . . . . 8 (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
10492, 102, 103mp2an 688 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
105 eluzrabdioph 38909 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6))
10690, 91, 104, 105mp3an 1453 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6)
107100, 46sselii 3892 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...6)
108 mzpproj 38840 . . . . . . . 8 (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
10992, 107, 108mp2an 688 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
110 elnnrabdioph 38910 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6))
11190, 109, 110mp2an 688 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)
112 anrabdioph 38883 . . . . . 6 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6))
113106, 111, 112mp2an 688 . . . . 5 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6)
114 elmapi 8285 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → 𝑒:(1...6)⟶ℕ0)
115 ffvelrn 6721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒:(1...6)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
116114, 107, 115sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
117 peano2nn0 11791 . . . . . . . . . 10 ((𝑒‘2) ∈ ℕ0 → ((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0)
118 oveq2 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
119118eqeq2d 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
120119anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
121120ceqsrexv 3590 . . . . . . . . . 10 (((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
122116, 117, 1213syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
123122bicomd 224 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))))
124123rabbiia 3420 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} = {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))}
125 vex 3443 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
126125resex 5787 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ↾ (1...6)) ∈ V
127 fvex 6558 . . . . . . . . . . 11 (𝑎‘7) ∈ V
128 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑎‘7) → 𝑏 = (𝑎‘7))
129107jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘2) = (𝑎‘2))
130129oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → ((𝑒‘2) + 1) = ((𝑎‘2) + 1))
131128, 130eqeqan12rd 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ↔ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)))
132102jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
134133eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
135 4nn 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
136135jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ (1...4)
13798, 136sselii 3892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...6)
138137jm2.27dlem1 39112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
140132, 128oveqan12d 7042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
141139, 140eqeq12d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
142134, 141anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
143131, 142anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))))
144126, 127, 143sbc2ie 3784 . . . . . . . . . 10 ([(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
145144rabbii 3421 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))}
146 7nn0 11773 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
147 ovex 7055 . . . . . . . . . . . 12 (1...7) ∈ V
148 7nn 11583 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℕ
149148jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . . . 12 7 ∈ (1...7)
150 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . . 12 (((1...7) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
151147, 149, 150mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
152 df-7 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 7 = (6 + 1)
153 6nn 11580 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
154107, 152, 153jm2.27dlem2 39113 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ (1...7)
155 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...7) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
156147, 154, 155mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
157 1z 11866 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
158 mzpconstmpt 38843 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...7) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
159147, 157, 158mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))
160 mzpaddmpt 38844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
161156, 159, 160mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
162 eqrabdioph 38880 . . . . . . . . . . 11 ((7 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7))
163146, 151, 161, 162mp3an 1453 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7)
164 rmydioph 39117 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
165 simp1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑎‘1))
166165eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
167 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑎‘4))
168 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑎‘7))
169165, 168oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
170167, 169eqeq12d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
171166, 170anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
172102, 152, 153jm2.27dlem2 39113 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (1...7)
173137, 152, 153jm2.27dlem2 39113 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ (1...7)
174171, 172, 149, 173rabren3dioph 38918 . . . . . . . . . . 11 ((7 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7))
175146, 164, 174mp2an 688 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)
176 anrabdioph 38883 . . . . . . . . . 10 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7))
177163, 175, 176mp2an 688 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7)
178145, 177eqeltri 2881 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)
179152rexfrabdioph 38898 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6))
18090, 178, 179mp2an 688 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6)
181124, 180eqeltri 2881 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6)
182 rmydioph 39117 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
183 simp1 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
184183eleq1d 2869 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
185 simp3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘5))
186 simp2 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
187183, 186oveq12d 7041 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
188185, 187eqeq12d 2812 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
189184, 188anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
190 5nn 11577 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
191190jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . 10 5 ∈ (1...5)
192191, 95, 190jm2.27dlem2 39113 . . . . . . . . 9 5 ∈ (1...6)
193189, 137, 107, 192rabren3dioph 38918 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
19490, 182, 193mp2an 688 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
195 rmxdioph 39119 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
196 simp1 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
197196eleq1d 2869 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2)))
198 simp3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘6))
199 simp2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
200196, 199oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
201198, 200eqeq12d 2812 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
202197, 201anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
203153jm2.27dlem3 39114 . . . . . . . . . 10 6 ∈ (1...6)
204202, 137, 107, 203rabren3dioph 38918 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
20590, 195, 204mp2an 688 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
20699, 3sselii 3892 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (1...6)
207 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . 11 (((1...6) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
20892, 206, 207mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
209 mzpconstmpt 38843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
21092, 91, 209mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6))
211 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...6) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
21292, 137, 211mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
213 mzpmulmpt 38845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
214210, 212, 213mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
215 mzpmulmpt 38845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
216214, 104, 215mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
217 2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
218 mzpexpmpt 38848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
219104, 217, 218mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
220 mzpsubmpt 38846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
221216, 219, 220mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
222 mzpconstmpt 38843 . . . . . . . . . . . 12 (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
22392, 157, 222mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))
224 mzpsubmpt 38846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
225221, 223, 224mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
226 ltrabdioph 38911 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6))
22790, 208, 225, 226mp3an 1453 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6)
228 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...6) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
22992, 203, 228mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
230 mzpsubmpt 38846 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
231212, 104, 230mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
232 mzpproj 38840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...6) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
23392, 192, 232mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
234 mzpmulmpt 38845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
235231, 233, 234mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
236 mzpsubmpt 38846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
237229, 235, 236mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
238 mzpsubmpt 38846 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
239237, 208, 238mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
240 dvdsrabdioph 38913 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6))
24190, 225, 239, 240mp3an 1453 . . . . . . . . 9 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)
242 anrabdioph 38883 . . . . . . . . 9 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6))
243227, 241, 242mp2an 688 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)
244 anrabdioph 38883 . . . . . . . 8 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6))
245205, 243, 244mp2an 688 . . . . . . 7 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)
246 anrabdioph 38883 . . . . . . 7 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6))
247194, 245, 246mp2an 688 . . . . . 6 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)
248 anrabdioph 38883 . . . . . 6 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6))
249181, 247, 248mp2an 688 . . . . 5 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)
250 anrabdioph 38883 . . . . 5 (({𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6))
251113, 249, 250mp2an 688 . . . 4 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
25289, 251eqeltri 2881 . . 3 {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
25393, 94, 953rexfrabdioph 38900 . . 3 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3))
2549, 252, 253mp2an 688 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3)
2558, 254eqeltri 2881 1 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3440  [wsbc 3711   class class class wbr 4968  cmpt 5047  cres 5452  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑚 cmap 8263  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   < clt 10528  cmin 10723  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  5c5 11549  6c6 11550  7c7 11551  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  ...cfz 12746  cexp 13283  cdvds 15444  mzPolycmzp 38825  Diophcdioph 38858   Xrm crmx 39003   Yrm crmy 39004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-numer 15908  df-denom 15909  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-mzpcl 38826  df-mzp 38827  df-dioph 38859  df-squarenn 38944  df-pell1qr 38945  df-pell14qr 38946  df-pell1234qr 38947  df-pellfund 38948  df-rmx 39005  df-rmy 39006
This theorem is referenced by:  expdioph  39126
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