Theorem expdiophlem2 43034

Description: Lemma for expdioph 43035. Exponentiation on a restricted domain is Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem2	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdiophlem2

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8889	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2		3nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 43023	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ (1...3)
4		ffvelcdm 7101	. . . . 5 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
5	1, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ0)
6		expdiophlem1 43033	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) ∈ ℕ0 → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))))
8	7	rabbiia 3440	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))}
9		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
10		fvex 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘5) ∈ V
11		fvex 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒‘6) ∈ V
12		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → (𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))))
13	12	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)))))
15		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → (𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))))
16	15	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝑒‘6) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)))))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → 𝑑 = (𝑒‘6))
19		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = (𝑒‘5) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐) = ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)))
21	18, 20	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) = ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))))
22	21	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))
23	22	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))
25	17, 24	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))
26	14, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))) ↔ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))
27	26	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
28	27	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = (𝑒‘5) ∧ 𝑑 = (𝑒‘6)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))))))
29	10, 11, 28	sbc2ie 3866	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
30	29	sbcbii 3846	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
31	30	sbcbii 3846	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))))
32		vex 3484	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
33	32	resex 6047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ↾ (1...3)) ∈ V
34		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒‘4) ∈ V
35		df-2 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
36		df-3 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = (2 + 1)
37		ssid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
38	36, 37	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
39	35, 38	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
40		1nn 12277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
41	40	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...1)
42	39, 41	sselii 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...3)
43	42	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
44	43	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
45		2nn 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
46	45	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...2)
47	46, 36, 45	jm2.27dlem2 43022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (1...3)
48	47	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
49	48	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑒‘2) ∈ ℕ))
50	44, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)))
52	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → 𝑏 = (𝑒‘4))
54	48	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) + 1) = ((𝑒‘2) + 1))
55	43, 54	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
56	53, 55	eqeqan12rd 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1)) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
57	52, 56	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
58		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
60	53, 48	oveqan12rd 7451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
61	60	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
62	59, 61	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
63	53, 48	oveqan12rd 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
64	63	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
65	59, 64	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
66	3	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘3))
68		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑒‘4) → (2 · 𝑏) = (2 · (𝑒‘4)))
69	68, 43	oveqan12rd 7451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) = ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)))
70	43	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑒‘1)↑2))
72	69, 71	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) = (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)))
73	72	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) = ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1))
74	67, 73	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ↔ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)))
75		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → 𝑏 = (𝑒‘4))
76	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘1))
77	75, 76	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (𝑏 − (𝑎‘1)) = ((𝑒‘4) − (𝑒‘1)))
78	77	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5)) = (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))
79	78	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) = ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))))
80	79, 67	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) = (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))
81	73, 80	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)) ↔ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))
82	74, 81	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))) ↔ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))
83	65, 82	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))
84	62, 83	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → (((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))) ↔ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))
85	57, 84	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3)))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
86	51, 85	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = (𝑒 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑒‘4)) → ((((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))))
87	33, 34, 86	sbc2ie 3866	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
88	31, 87	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ([(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3))))))) ↔ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))))
89	88	rabbii 3442	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))}
90		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
91		2z 12649	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
92		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (1...6) ∈ V
93		df-4 12331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 = (3 + 1)
94		df-5 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 = (4 + 1)
95		df-6 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 = (5 + 1)
96		ssid 4006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...6) ⊆ (1...6)
97	95, 96	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...5) ⊆ (1...6)
98	94, 97	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...4) ⊆ (1...6)
99	93, 98	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...3) ⊆ (1...6)
100	36, 99	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) ⊆ (1...6)
101	35, 100	jm2.27dlem5 43025	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...1) ⊆ (1...6)
102	101, 41	sselii 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (1...6)
103		mzpproj 42748	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
104	92, 102, 103	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
105		eluzrabdioph 42817	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6))
106	90, 91, 104, 105	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6)
107	100, 46	sselii 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...6)
108		mzpproj 42748	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
109	92, 107, 108	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
110		elnnrabdioph 42818	. . . . . . 7 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6))
111	90, 109, 110	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)
112		anrabdioph 42791	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6))
113	106, 111, 112	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6)
114		elmapi 8889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → 𝑒:(1...6)⟶ℕ0)
115		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒:(1...6)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
116	114, 107, 115	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (𝑒‘2) ∈ ℕ0)
117		peano2nn0 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒‘2) ∈ ℕ0 → ((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0)
118		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))
119	118	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))))
120	119	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
121	120	ceqsrexv 3655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑒‘2) + 1) ∈ ℕ0 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
122	116, 117, 121	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))))
123	122	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))))
124	123	rabbiia 3440	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))}
125		vex 3484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
126	125	resex 6047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ↾ (1...6)) ∈ V
127		fvex 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎‘7) ∈ V
128		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑎‘7) → 𝑏 = (𝑎‘7))
129	107	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘2) = (𝑎‘2))
130	129	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → ((𝑒‘2) + 1) = ((𝑎‘2) + 1))
131	128, 130	eqeqan12rd 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ↔ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)))
132	102	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘1) = (𝑎‘1))
134	133	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
135		4nn 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
136	135	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ (1...4)
137	98, 136	sselii 3980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...6)
138	137	jm2.27dlem1 43021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (𝑒‘4) = (𝑎‘4))
140	132, 128	oveqan12d 7450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
141	139, 140	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
142	134, 141	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
143	131, 142	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑒 = (𝑎 ↾ (1...6)) ∧ 𝑏 = (𝑎‘7)) → ((𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))))
144	126, 127, 143	sbc2ie 3866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏))) ↔ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
145	144	rabbii 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))}
146		7nn0 12548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℕ0
147		ovex 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...7) ∈ V
148		7nn 12358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
149	148	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 7 ∈ (1...7)
150		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
151	147, 149, 150	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
152		df-7 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 = (6 + 1)
153		6nn 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
154	107, 152, 153	jm2.27dlem2 43022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ (1...7)
155		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...7)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
156	147, 154, 155	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
157		1z 12647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
158		mzpconstmpt 42751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...7) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
159	147, 157, 158	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))
160		mzpaddmpt 42752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7)))
161	156, 159, 160	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))
162		eqrabdioph 42788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ (𝑎‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...7)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...7)) ↦ ((𝑎‘2) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...7))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7))
163	146, 151, 161, 162	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7)
164		rmydioph 43026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
165		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘1) = (𝑎‘1))
166	165	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
167		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘3) = (𝑎‘4))
168		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (𝑏‘2) = (𝑎‘7))
169	165, 168	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))
170	167, 169	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → ((𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)) ↔ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))
171	166, 170	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏‘1) = (𝑎‘1) ∧ (𝑏‘2) = (𝑎‘7) ∧ (𝑏‘3) = (𝑎‘4)) → (((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))))
172	102, 152, 153	jm2.27dlem2 43022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (1...7)
173	137, 152, 153	jm2.27dlem2 43022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ (1...7)
174	171, 172, 149, 173	rabren3dioph 42826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 ∈ ℕ0 ∧ {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑏‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏‘3) = ((𝑏‘1) Yrm (𝑏‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7))
175	146, 164, 174	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)
176		anrabdioph 42791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ (𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1)} ∈ (Dioph‘7) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7))
177	163, 175, 176	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ ((𝑎‘7) = ((𝑎‘2) + 1) ∧ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘4) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘7))))} ∈ (Dioph‘7)
178	145, 177	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)
179	152	rexfrabdioph 42806	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...7)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...6)) / 𝑒][(𝑎‘7) / 𝑏](𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘7)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6))
180	90, 178, 179	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑏 = ((𝑒‘2) + 1) ∧ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm 𝑏)))} ∈ (Dioph‘6)
181	124, 180	eqeltri 2837	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6)
182		rmydioph 43026	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
183		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
184	183	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
185		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘5))
186		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
187	183, 186	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))
188	185, 187	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))))
189	184, 188	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘5)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))))
190		5nn 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
191	190	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (1...5)
192	191, 95, 190	jm2.27dlem2 43022	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ (1...6)
193	189, 137, 107, 192	rabren3dioph 42826	. . . . . . . 8 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
194	90, 182, 193	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
195		rmxdioph 43028	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
196		simp1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘1) = (𝑒‘4))
197	196	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2)))
198		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘3) = (𝑒‘6))
199		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (𝑎‘2) = (𝑒‘2))
200	196, 199	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))
201	198, 200	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))))
202	197, 201	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) = (𝑒‘4) ∧ (𝑎‘2) = (𝑒‘2) ∧ (𝑎‘3) = (𝑒‘6)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))))
203	153	jm2.27dlem3 43023	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ (1...6)
204	202, 137, 107, 203	rabren3dioph 42826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Xrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6))
205	90, 195, 204	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6)
206	99, 3	sselii 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ (1...6)
207		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
208	92, 206, 207	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
209		mzpconstmpt 42751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
210	92, 91, 209	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6))
211		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
212	92, 137, 211	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
213		mzpmulmpt 42753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
214	210, 212, 213	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
215		mzpmulmpt 42753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (2 · (𝑒‘4))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
216	214, 104, 215	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
217		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
218		mzpexpmpt 42756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
219	104, 217, 218	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
220		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
221	216, 219, 220	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
222		mzpconstmpt 42751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
223	92, 157, 222	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))
224		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
225	221, 223, 224	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
226		ltrabdioph 42819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6))
227	90, 208, 225, 226	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6)
228		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
229	92, 203, 228	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
230		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
231	212, 104, 230	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
232		mzpproj 42748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...6) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...6)) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
233	92, 192, 232	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))
234		mzpmulmpt 42753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘4) − (𝑒‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
235	231, 233, 234	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
236		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
237	229, 235, 236	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
238		mzpsubmpt 42754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5)))) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (𝑒‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6)))
239	237, 208, 238	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))
240		dvdsrabdioph 42821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 ∈ ℕ0 ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...6)) ∧ (𝑒 ∈ (ℤ ↑m (1...6)) ↦ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...6))) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6))
241	90, 225, 239, 240	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)
242		anrabdioph 42791	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6))
243	227, 241, 242	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)
244		anrabdioph 42791	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6))
245	205, 243, 244	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)
246		anrabdioph 42791	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6))
247	194, 245, 246	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)
248		anrabdioph 42791	. . . . . 6 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1)))} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6))
249	181, 247, 248	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)
250		anrabdioph 42791	. . . . 5 ⊢ (({𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ ((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘6) ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6))
251	113, 249, 250	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑒‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘4) = ((𝑒‘1) Yrm ((𝑒‘2) + 1))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘5) = ((𝑒‘4) Yrm (𝑒‘2))) ∧ (((𝑒‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑒‘6) = ((𝑒‘4) Xrm (𝑒‘2))) ∧ ((𝑒‘3) < ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝑒‘4)) · (𝑒‘1)) − ((𝑒‘1)↑2)) − 1) ∥ (((𝑒‘6) − (((𝑒‘4) − (𝑒‘1)) · (𝑒‘5))) − (𝑒‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
252	89, 251	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)
253	93, 94, 95	3rexfrabdioph 42808	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m (1...6)) ∣ [(𝑒 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑒‘4) / 𝑏][(𝑒‘5) / 𝑐][(𝑒‘6) / 𝑑](((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘6)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3))
254	9, 252, 253	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 = ((𝑎‘1) Yrm ((𝑎‘2) + 1))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑐 = (𝑏 Yrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑏 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝑏 Xrm (𝑎‘2))) ∧ ((𝑎‘3) < ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑏) · (𝑎‘1)) − ((𝑎‘1)↑2)) − 1) ∥ ((𝑑 − ((𝑏 − (𝑎‘1)) · 𝑐)) − (𝑎‘3)))))))} ∈ (Dioph‘3)
255	8, 254	eqeltri 2837	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  [wsbc 3788   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290  mzPolycmzp 42733  Diophcdioph 42766   X_rm crmx 42911   Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735  df-dioph 42767  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914

This theorem is referenced by:  expdioph  43035