Theorem mzpmulmpt 42211

Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 42211. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmulmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpmulmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 42205	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
2	1	ffnd 6728	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
3		mzpf 42205	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4	3	ffnd 6728	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
5		ovex 7459	. . . 4 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
6		ofmpteq 7714	. . . 4 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
7	5, 6	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
8	2, 4, 7	syl2an 594	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
9		mzpmul 42208	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
10	8, 9	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235   Fn wfn 6548  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7690   ↑_m cmap 8853   · cmul 11153  ℤcz 12598  mzPolycmzp 42191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-mzpcl 42192  df-mzp 42193

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  42212  mzpexpmpt  42214  mzpsubst  42217  mzpcompact2lem  42220  diophun  42242  dvdsrabdioph  42279  rmydioph  42484  rmxdioph  42486  expdiophlem2  42492