Theorem mzpmulmpt 42715

Description: Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 42715. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpmulmpt	⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mzpmulmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpf 42709	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
2	1	ffnd 6657	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
3		mzpf 42709	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4	3	ffnd 6657	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉))
5		ovex 7386	. . . 4 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
6		ofmpteq 7640	. . . 4 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
7	5, 6	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) Fn (ℤ ↑m 𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) Fn (ℤ ↑m 𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
8	2, 4, 7	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)))
9		mzpmul 42712	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → ((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∘f · (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))
10	8, 9	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘𝑉)) → (𝑥 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (mzPoly‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760   · cmul 11033  ℤcz 12489  mzPolycmzp 42695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-mzpcl 42696  df-mzp 42697

This theorem is referenced by:  mzpsubmpt  42716  mzpexpmpt  42718  mzpsubst  42721  mzpcompact2lem  42724  diophun  42746  dvdsrabdioph  42783  rmydioph  42987  rmxdioph  42989  expdiophlem2  42995