Theorem mzpf 37795

Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpf	⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6437	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2		mzpval 37791	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
3		mzpclall 37786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4		intss1 4684	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
6	2, 5	eqsstrd 3836	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
8	7	sselda 3798	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
9	8	anidms 558	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
10		zex 11648	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
11		ovex 6902	. . 3 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
12	10, 11	elmap 8117	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
13	9, 12	sylib 209	1 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2156  Vcvv 3391   ⊆ wss 3769  ∩ cint 4669  ⟶wf 6093  ‘cfv 6097  (class class class)co 6870   ↑_𝑚 cmap 8088  ℤcz 11639  mzPolyCldcmzpcl 37780  mzPolycmzp 37781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-n0 11556  df-z 11640  df-mzpcl 37782  df-mzp 37783

This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  37800  mzpmulmpt  37801  mzpsubmpt  37802  mzpexpmpt  37804  mzpsubst  37807  mzpcompact2lem  37810  diophin  37832  diophun  37833  eq0rabdioph  37836  eqrabdioph  37837  rabdiophlem1  37861  rabdiophlem2  37862