Theorem mzpf 42147

Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpf	⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6930	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2		mzpval 42143	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
3		mzpclall 42138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4		intss1 4962	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
6	2, 5	eqsstrd 4017	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
8	7	sselda 3979	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10		zex 12592	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
11		ovex 7448	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
12	10, 11	elmap 8884	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
13	9, 12	sylib 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945  ∩ cint 4945  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8839  ℤcz 12583  mzPolyCldcmzpcl 42132  mzPolycmzp 42133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-mzpcl 42134  df-mzp 42135

This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  42152  mzpmulmpt  42153  mzpsubmpt  42154  mzpexpmpt  42156  mzpsubst  42159  mzpcompact2lem  42162  diophin  42183  diophun  42184  eq0rabdioph  42187  eqrabdioph  42188  rabdiophlem1  42212  rabdiophlem2  42213