Theorem mzpf 42724

Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpf	⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6896	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2		mzpval 42720	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
3		mzpclall 42715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4		intss1 4927	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
6	2, 5	eqsstrd 3981	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
8	7	sselda 3946	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10		zex 12538	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
11		ovex 7420	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
12	10, 11	elmap 8844	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
13	9, 12	sylib 218	1 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∩ cint 4910  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  ℤcz 12529  mzPolyCldcmzpcl 42709  mzPolycmzp 42710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712

This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  42729  mzpmulmpt  42730  mzpsubmpt  42731  mzpexpmpt  42733  mzpsubst  42736  mzpcompact2lem  42739  diophin  42760  diophun  42761  eq0rabdioph  42764  eqrabdioph  42765  rabdiophlem1  42789  rabdiophlem2  42790