Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpf 42298
Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpf (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf
StepHypRef Expression
1 elfvex 6934 . . . . 5 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2 mzpval 42294 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
3 mzpclall 42289 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4 intss1 4967 . . . . . . 7 ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
62, 5eqsstrd 4015 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
87sselda 3976 . . 3 ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
98anidms 565 . 2 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10 zex 12600 . . 3 ℤ ∈ V
11 ovex 7452 . . 3 (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
1210, 11elmap 8890 . 2 (𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
139, 12sylib 217 1 (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944   cint 4950  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cz 12591  mzPolyCldcmzpcl 42283  mzPolycmzp 42284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-mzpcl 42285  df-mzp 42286
This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  42303  mzpmulmpt  42304  mzpsubmpt  42305  mzpexpmpt  42307  mzpsubst  42310  mzpcompact2lem  42313  diophin  42334  diophun  42335  eq0rabdioph  42338  eqrabdioph  42339  rabdiophlem1  42363  rabdiophlem2  42364
  Copyright terms: Public domain W3C validator