Theorem mzpf 37825

Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpf	⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6362	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2		mzpval 37821	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
3		mzpclall 37816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4		intss1 4626	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
6	2, 5	eqsstrd 3788	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
8	7	sselda 3752	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
9	8	anidms 556	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
10		zex 11588	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
11		ovex 6823	. . 3 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
12	10, 11	elmap 8038	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
13	9, 12	sylib 208	1 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∩ cint 4611  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑_𝑚 cmap 8009  ℤcz 11579  mzPolyCldcmzpcl 37810  mzPolycmzp 37811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-mzpcl 37812  df-mzp 37813

This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  37830  mzpmulmpt  37831  mzpsubmpt  37832  mzpexpmpt  37834  mzpsubst  37837  mzpcompact2lem  37840  diophin  37862  diophun  37863  eq0rabdioph  37866  eqrabdioph  37867  rabdiophlem1  37891  rabdiophlem2  37892