Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpf 41106
Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpf (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝐹:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)

Proof of Theorem mzpf
StepHypRef Expression
1 elfvex 6884 . . . . 5 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝑉 ∈ V)
2 mzpval 41102 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜π‘‰) = ∩ (mzPolyCldβ€˜π‘‰))
3 mzpclall 41097 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V β†’ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘‰))
4 intss1 4928 . . . . . . 7 ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘‰) β†’ ∩ (mzPolyCldβ€˜π‘‰) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V β†’ ∩ (mzPolyCldβ€˜π‘‰) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
62, 5eqsstrd 3986 . . . . 5 (𝑉 ∈ V β†’ (mzPolyβ€˜π‘‰) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ (mzPolyβ€˜π‘‰) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
87sselda 3948 . . 3 ((𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) ∧ 𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰)) β†’ 𝐹 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
98anidms 568 . 2 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝐹 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
10 zex 12516 . . 3 β„€ ∈ V
11 ovex 7394 . . 3 (β„€ ↑m 𝑉) ∈ V
1210, 11elmap 8815 . 2 (𝐹 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ↔ 𝐹:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
139, 12sylib 217 1 (𝐹 ∈ (mzPolyβ€˜π‘‰) β†’ 𝐹:(β„€ ↑m 𝑉)βŸΆβ„€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ© cint 4911  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„€cz 12507  mzPolyCldcmzpcl 41091  mzPolycmzp 41092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-mzpcl 41093  df-mzp 41094
This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  41111  mzpmulmpt  41112  mzpsubmpt  41113  mzpexpmpt  41115  mzpsubst  41118  mzpcompact2lem  41121  diophin  41142  diophun  41143  eq0rabdioph  41146  eqrabdioph  41147  rabdiophlem1  41171  rabdiophlem2  41172
  Copyright terms: Public domain W3C validator