Theorem mzpf 39677

Description: A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpf	⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Proof of Theorem mzpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2		mzpval 39673	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
3		mzpclall 39668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
4		intss1 4853	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
6	2, 5	eqsstrd 3953	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
8	7	sselda 3915	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) ∧ 𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
9	8	anidms 570	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10		zex 11978	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
11		ovex 7168	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
12	10, 11	elmap 8418	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
13	9, 12	sylib 221	1 ⊢ (𝐹 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝐹:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∩ cint 4838  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℤcz 11969  mzPolyCldcmzpcl 39662  mzPolycmzp 39663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-mzpcl 39664  df-mzp 39665

This theorem is referenced by:  mzpaddmpt  39682  mzpmulmpt  39683  mzpsubmpt  39684  mzpexpmpt  39686  mzpsubst  39689  mzpcompact2lem  39692  diophin  39713  diophun  39714  eq0rabdioph  39717  eqrabdioph  39718  rabdiophlem1  39742  rabdiophlem2  39743