MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cbvitg 25718
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
cbvitg.2 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
cbvitg.3 โ„ฒ๐‘ฅ๐ถ
Assertion
Ref Expression
cbvitg โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฆ
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด
2 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฆ0
3 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฆ โ‰ค
4 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฆโ„œ
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฆ๐ต
6 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฆ /
7 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฆ(iโ†‘๐‘˜)
85, 6, 7nfov 7450 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฆ(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))
94, 8nffv 6907 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฆ(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
102, 3, 9nfbr 5195 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฆ0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
111, 10nfan 1895 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฆ(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
1211, 9, 2nfif 4559 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฆif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)
13 nfv 1910 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด
14 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ0
15 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ โ‰ค
16 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโ„œ
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ๐ถ
18 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ /
19 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ(iโ†‘๐‘˜)
2017, 18, 19nfov 7450 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))
2116, 20nffv 6907 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ(โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
2214, 15, 21nfbr 5195 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
2313, 22nfan 1895 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))
2423, 21, 14nfif 4559 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅif((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)
25 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด))
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
2726fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))
2827breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))))
2925, 28anbi12d 631 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))))))
3029, 27ifbieq1d 4553 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0) = if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
3112, 24, 30cbvmpt 5259 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))
3231a1i 11 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))
3332fveq2d 6901 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
3433oveq2d 7436 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))))
3534sumeq2i 15678 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
36 eqid 2728 . . 3 (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
3736dfitg 25712 . 2 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
38 eqid 2728 . . 3 (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))) = (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))
3938dfitg 25712 . 2 โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฆ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฆ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜)))), (โ„œโ€˜(๐ถ / (iโ†‘๐‘˜))), 0))))
4035, 37, 393eqtr4i 2766 1 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด๐ถ d๐‘ฆ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ„ฒwnfc 2879  ifcif 4529   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„cr 11138  0cc0 11139  ici 11141   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280   / cdiv 11902  3c3 12299  ...cfz 13517  โ†‘cexp 14059  โ„œcre 15077  ฮฃcsu 15665  โˆซ2citg2 25558  โˆซcitg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-sum 15666  df-itg 25565
This theorem is referenced by:  cbvitgv  25719  itgmpt  25725  itgfsum  25769  itgabs  25777  cbvditg  25796  itgparts  25995  itgsubstlem  25996  itgulm2  26358  itgabsnc  37162
  Copyright terms: Public domain W3C validator