Theorem cbvitg 25293

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvitg.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
cbvitg.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶

Assertion

Ref	Expression
cbvitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
2		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0
3		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
4		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
5		cbvitg.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 /
7		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
8	5, 6, 7	nfov 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
9	4, 8	nffv 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
10	2, 3, 9	nfbr 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
11	1, 10	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12	11, 9, 2	nfif 4559	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0
15		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
16		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ℜ
17		cbvitg.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 /
19		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
20	17, 18, 19	nfov 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
21	16, 20	nffv 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
22	14, 15, 21	nfbr 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
23	13, 22	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
24	23, 21, 14	nfif 4559	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25		eleq1w 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26		cbvitg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
27	26	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
28	27	breq2d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
29	25, 28	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
30	29, 27	ifbieq1d 4553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
31	12, 24, 30	cbvmpt 5260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
33	32	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
34	33	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
35	34	sumeq2i 15645	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
37	36	dfitg 25287	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
39	38	dfitg 25287	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
40	35, 37, 39	3eqtr4i 2771	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  ici 11112   · cmul 11115   ≤ cle 11249   / cdiv 11871  3c3 12268  ...cfz 13484  ↑cexp 14027  ℜcre 15044  Σcsu 15632  ∫₂citg2 25133  ∫citg 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-itg 25140

This theorem is referenced by:  cbvitgv  25294  itgmpt  25300  itgfsum  25344  itgabs  25352  cbvditg  25371  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  itgulm2  25921  itgabsnc  36557