Theorem cbvitg 25656

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvitg.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
cbvitg.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶

Assertion

Ref	Expression
cbvitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
2		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0
3		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
4		nfcv 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
5		cbvitg.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 /
7		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
8	5, 6, 7	nfov 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
9	4, 8	nffv 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
10	2, 3, 9	nfbr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
11	1, 10	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12	11, 9, 2	nfif 4553	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13		nfv 1909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0
15		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
16		nfcv 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ℜ
17		cbvitg.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 /
19		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
20	17, 18, 19	nfov 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
21	16, 20	nffv 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
22	14, 15, 21	nfbr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
23	13, 22	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
24	23, 21, 14	nfif 4553	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25		eleq1w 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26		cbvitg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
27	26	fvoveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
28	27	breq2d 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
29	25, 28	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
30	29, 27	ifbieq1d 4547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
31	12, 24, 30	cbvmpt 5252	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
33	32	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
34	33	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
35	34	sumeq2i 15649	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36		eqid 2726	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
37	36	dfitg 25650	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38		eqid 2726	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
39	38	dfitg 25650	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
40	35, 37, 39	3eqtr4i 2764	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  ici 11111   · cmul 11114   ≤ cle 11250   / cdiv 11872  3c3 12269  ...cfz 13487  ↑cexp 14030  ℜcre 15048  Σcsu 15636  ∫₂citg2 25496  ∫citg 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-sum 15637  df-itg 25503

This theorem is referenced by:  cbvitgv  25657  itgmpt  25663  itgfsum  25707  itgabs  25715  cbvditg  25734  itgparts  25933  itgsubstlem  25934  itgulm2  26296  itgabsnc  37068