Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cbvitg 24383
 Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2 𝑦𝐵
cbvitg.3 𝑥𝐶
Assertion
Ref Expression
cbvitg 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥𝐴
2 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑦0
3 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑦
4 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑦
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
6 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 /
7 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(i↑𝑘)
85, 6, 7nfov 7169 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
94, 8nffv 6659 . . . . . . . . . 10 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
102, 3, 9nfbr 5080 . . . . . . . . 9 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
111, 10nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1211, 9, 2nfif 4457 . . . . . . 7 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦𝐴
14 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑥0
15 nfcv 2958 . . . . . . . . . 10 𝑥
16 nfcv 2958 . . . . . . . . . . 11 𝑥
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐶
18 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 /
19 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(i↑𝑘)
2017, 18, 19nfov 7169 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
2116, 20nffv 6659 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2214, 15, 21nfbr 5080 . . . . . . . . 9 𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2313, 22nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑥(𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2423, 21, 14nfif 4457 . . . . . . 7 𝑥if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25 eleq1w 2875 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
2726fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2827breq2d 5045 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
2925, 28anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
3029, 27ifbieq1d 4451 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3112, 24, 30cbvmpt 5134 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
3332fveq2d 6653 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
3433oveq2d 7155 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
3534sumeq2i 15052 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36 eqid 2801 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
3736dfitg 24377 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38 eqid 2801 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
3938dfitg 24377 . 2 𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4035, 37, 393eqtr4i 2834 1 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  0cc0 10530  ici 10532   · cmul 10535   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  3c3 11685  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  ℜcre 14452  Σcsu 15038  ∫2citg2 24224  ∫citg 24226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-sum 15039  df-itg 24231 This theorem is referenced by:  cbvitgv  24384  itgmpt  24390  itgfsum  24434  itgabs  24442  cbvditg  24461  itgparts  24654  itgsubstlem  24655  itgulm2  25008  itgabsnc  35125
 Copyright terms: Public domain W3C validator