Theorem cbvitg 26096

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvitg.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
cbvitg.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶

Assertion

Ref	Expression
cbvitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cbvitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
2		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0
3		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
4		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
5		cbvitg.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 /
7		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
8	5, 6, 7	nfov 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
9	4, 8	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
10	2, 3, 9	nfbr 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
11	1, 10	nfan 1931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12	11, 9, 2	nfif 4512	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0
15		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
16		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ℜ
17		cbvitg.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 /
19		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
20	17, 18, 19	nfov 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
21	16, 20	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
22	14, 15, 21	nfbr 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
23	13, 22	nfan 1931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
24	23, 21, 14	nfif 4512	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25		eleq1w 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26		cbvitg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
27	26	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
28	27	breq2d 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
29	25, 28	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
30	29, 27	ifbieq1d 4506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
31	12, 24, 30	cbvmpt 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
33	32	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
34	33	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
35	34	sumeq2i 15865	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
37	36	dfitg 26090	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38		eqid 2760	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
39	38	dfitg 26090	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
40	35, 37, 39	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  ici 11202   · cmul 11205   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  3c3 12398  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  Σcsu 15853  ∫₂citg2 25937  ∫citg 25939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sum 15854  df-itg 25944

This theorem is used by:  itgmpt  26103  itgfsum  26147  itgabs  26155  cbvditg  26174  itgparts  26367  itgsubstlem  26368  itgulm2  26736  itgabsnc  38650