Theorem cbvitg 25729

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvitg.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
cbvitg.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶

Assertion

Ref	Expression
cbvitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
2		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0
3		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
4		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
5		cbvitg.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 /
7		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
8	5, 6, 7	nfov 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
9	4, 8	nffv 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
10	2, 3, 9	nfbr 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
11	1, 10	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12	11, 9, 2	nfif 4531	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0
15		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
16		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ℜ
17		cbvitg.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 /
19		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
20	17, 18, 19	nfov 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
21	16, 20	nffv 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
22	14, 15, 21	nfbr 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
23	13, 22	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
24	23, 21, 14	nfif 4531	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25		eleq1w 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26		cbvitg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
27	26	fvoveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
28	27	breq2d 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
29	25, 28	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
30	29, 27	ifbieq1d 4525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
31	12, 24, 30	cbvmpt 5223	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
33	32	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
34	33	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
35	34	sumeq2i 15714	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
37	36	dfitg 25722	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38		eqid 2735	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
39	38	dfitg 25722	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
40	35, 37, 39	3eqtr4i 2768	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  ici 11131   · cmul 11134   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  3c3 12296  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  ℜcre 15116  Σcsu 15702  ∫₂citg2 25569  ∫citg 25571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-sum 15703  df-itg 25576

This theorem is referenced by:  itgmpt  25736  itgfsum  25780  itgabs  25788  cbvditg  25807  itgparts  26006  itgsubstlem  26007  itgulm2  26370  itgabsnc  37713