Theorem cbvitg 25684

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvitg.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵
cbvitg.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶

Assertion

Ref	Expression
cbvitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
2		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦0
3		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
4		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
5		cbvitg.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
6		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦 /
7		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
8	5, 6, 7	nfov 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
9	4, 8	nffv 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
10	2, 3, 9	nfbr 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
11	1, 10	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
12	11, 9, 2	nfif 4522	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥0
15		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
16		nfcv 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥ℜ
17		cbvitg.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
18		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 /
19		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
20	17, 18, 19	nfov 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
21	16, 20	nffv 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
22	14, 15, 21	nfbr 5157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
23	13, 22	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
24	23, 21, 14	nfif 4522	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25		eleq1w 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
26		cbvitg.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶)
27	26	fvoveq1d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
28	27	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
29	25, 28	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
30	29, 27	ifbieq1d 4516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
31	12, 24, 30	cbvmpt 5212	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
33	32	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
34	33	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
35	34	sumeq2i 15671	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
36		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
37	36	dfitg 25677	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
38		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
39	38	dfitg 25677	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
40	35, 37, 39	3eqtr4i 2763	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  ici 11077   · cmul 11080   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  3c3 12249  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  ℜcre 15070  Σcsu 15659  ∫₂citg2 25524  ∫citg 25526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-sum 15660  df-itg 25531

This theorem is referenced by:  itgmpt  25691  itgfsum  25735  itgabs  25743  cbvditg  25762  itgparts  25961  itgsubstlem  25962  itgulm2  26325  itgabsnc  37690