Theorem nnge2recico01 13501

Description: The reciprocal of an integer greater than 1 is in the right open interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnge2recico01	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem nnge2recico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12840	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluz2n0 12884	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 12008	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
4		1red 11172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		0le1 11700	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
7		eluz2nn 12879	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nngt0d 12252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑁)
9		divge0 12051	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
10	4, 6, 1, 8, 9	syl22anc 847	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
11		eluz2gt1 12911	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
12		recgt1 12078	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
13	1, 8, 12	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
14	11, 13	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
15		0re 11173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1xr 11231	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	15, 16	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
18		elico2 13404	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
19	17, 18	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
20	3, 10, 14, 19	mpbir3and 1352	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207   / cdiv 11834  2c2 12262  ℤ_≥cuz 12829  [,)cico 13341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-ico 13345

This theorem is referenced by:  nnge2recfl0  47884