Theorem nnge2recico01 13533

Description: The reciprocal of an integer greater than 1 is in the right open interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnge2recico01	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem nnge2recico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12872	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluz2n0 12916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 12041	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
4		1red 11208	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		0le1 11736	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
7		eluz2nn 12911	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nngt0d 12284	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑁)
9		divge0 12083	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
10	4, 6, 1, 8, 9	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
11		eluz2gt1 12943	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
12		recgt1 12110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
13	1, 8, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
14	11, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
15		0re 11209	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1xr 11267	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	15, 16	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
18		elico2 13436	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
19	17, 18	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
20	3, 10, 14, 19	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  2c2 12294  ℤ_≥cuz 12861  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  nnge2recfl0  48046