Theorem nnge2recico01 13449

Description: The reciprocal of an integer greater than 1 is in the right open interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnge2recico01	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem nnge2recico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12788	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluz2n0 12832	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 11971	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
4		1red 11134	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		0le1 11662	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
7		eluz2nn 12827	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nngt0d 12215	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑁)
9		divge0 12014	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
10	4, 6, 1, 8, 9	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
11		eluz2gt1 12859	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
12		recgt1 12041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
13	1, 8, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
14	11, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
15		0re 11135	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1xr 11193	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	15, 16	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
18		elico2 13352	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
19	17, 18	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
20	3, 10, 14, 19	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  2c2 12225  ℤ_≥cuz 12777  [,)cico 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-ico 13293

This theorem is referenced by:  nnge2recfl0  47787