Theorem nnge2recico01 13460

Description: The reciprocal of an integer greater than 1 is in the right open interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnge2recico01	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem nnge2recico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluz2n0 12843	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 11982	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
4		1red 11145	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		0le1 11673	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
7		eluz2nn 12838	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nngt0d 12226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑁)
9		divge0 12025	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
10	4, 6, 1, 8, 9	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
11		eluz2gt1 12870	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
12		recgt1 12052	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
13	1, 8, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
14	11, 13	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
15		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1xr 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	15, 16	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
18		elico2 13363	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
19	17, 18	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
20	3, 10, 14, 19	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤ_≥cuz 12788  [,)cico 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-ico 13304

This theorem is referenced by:  nnge2recfl0  47784