Theorem nnge2recico01 13525

Description: The reciprocal of an integer greater than 1 is in the right open interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 10-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnge2recico01	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem nnge2recico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12864	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		eluz2n0 12908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 12033	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
4		1red 11197	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
5		0le1 11725	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
7		eluz2nn 12903	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nngt0d 12276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝑁)
9		divge0 12075	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
10	4, 6, 1, 8, 9	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (1 / 𝑁))
11		eluz2gt1 12935	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
12		recgt1 12102	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
13	1, 8, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) < 1))
14	11, 13	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) < 1)
15		0re 11198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1xr 11256	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17	15, 16	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
18		elico2 13428	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
19	17, 18	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 / 𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑁) ∧ (1 / 𝑁) < 1)))
20	3, 10, 14, 19	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  2c2 12286  ℤ_≥cuz 12853  [,)cico 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-ico 13369

This theorem is referenced by:  nnge2recfl0  47934