Theorem nnoALTV 48935

Description: An alternate characterization of an odd number greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnoALTV	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnoALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddm1div2z 48874	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		eluz2b1 13059	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
4		1red 11322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 12710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	posdifd 11916	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
8		peano2zm 12752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9	8	zred 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		2re 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
12		2pos 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
14	9, 11, 13	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		gt0div 12196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
18	7, 17	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
19	3, 18	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
20	19	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
21		elnnz 12716	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
22	2, 20, 21	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   < clt 11356   − cmin 11554   / cdiv 11986  ℕcn 12348  2c2 12410  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978   Odd codd 48865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-odd 48867

This theorem is used by: (None)