Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnoALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnoALTV 43168
Description: An alternate characterization of an odd number greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnoALTV ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnoALTV
StepHypRef Expression
1 oddm1div2z 43107 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
21adantl 474 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3 eluz2b1 12126 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
4 1red 10432 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 11790 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
64, 5posdifd 11020 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
76biimpa 469 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
8 peano2zm 11831 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
98zred 11893 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10 2re 11507 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 11543 . . . . . . . . 9 0 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
149, 11, 133jca 1108 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
1514adantr 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16 gt0div 11299 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
187, 17mpbid 224 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
193, 18sylbi 209 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
2019adantr 473 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
21 elnnz 11796 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
222, 20, 21sylanbrc 575 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068  wcel 2048   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   < clt 10466  cmin 10662   / cdiv 11090  cn 11431  2c2 11488  cz 11786  cuz 12051   Odd codd 43098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-odd 43100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator