Theorem nnoALTV 47064

Description: An alternate characterization of an odd number greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnoALTV	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnoALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddm1div2z 47003	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3		eluz2b1 12941	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
4		1red 11253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	posdifd 11839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1)))
7	6	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1))
8		peano2zm 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
9	8	zred 12704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		2re 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
12		2pos 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
14	9, 11, 13	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15	14	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
16		gt0div 12118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
18	7, 17	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
19	3, 18	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
20	19	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
21		elnnz 12606	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
22	2, 20, 21	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   < clt 11286   − cmin 11482   / cdiv 11909  ℕcn 12250  2c2 12305  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860   Odd codd 46994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-odd 46996

This theorem is referenced by: (None)