Theorem oddflALTV 46008

Description: Odd number representation by using the floor function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddflALTV	⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Proof of Theorem oddflALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zofldiv2ALTV 46007	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (⌊‘(𝐾 / 2)) = ((𝐾 − 1) / 2))
2	1	oveq2d 7393	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) = (2 · ((𝐾 − 1) / 2)))
3	2	oveq1d 7392	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1) = ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1))
4		oddz 45976	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 ∈ ℤ)
5		peano2zm 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12632	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
8		2cnd 12255	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 12281	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan2d 11957	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → (2 · ((𝐾 − 1) / 2)) = (𝐾 − 1))
12	11	oveq1d 7392	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((2 · ((𝐾 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐾 − 1) + 1))
13	4	zcnd 12632	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 ∈ ℂ)
14		npcan1 11604	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
16	3, 12, 15	3eqtrrd 2776	1 ⊢ (𝐾 ∈ Odd → 𝐾 = ((2 · (⌊‘(𝐾 / 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11409   / cdiv 11836  2c2 12232  ℤcz 12523  ⌊cfl 13720   Odd codd 45970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fl 13722  df-odd 45972

This theorem is referenced by: (None)