Theorem 0dig2nn0o 48724

Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2nn0o	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem 0dig2nn0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12198	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		0nn0 12396	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		nn0rp0 13355	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		nn0digval 48711	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9		2cn 12200	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		exp0 13972	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
12	11	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13		nn0cn 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	div1d 11889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
16	12, 15	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
17	16	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
18	17	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19		nn0z 12493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		flid 13712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
22	21	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24		nn0z 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
26		2z 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
28		2ne0 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
30		peano2nn0 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33		dvdsval2 16166	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
35	25, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∥ (𝑁 + 1))
36		oddp1even 16255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
37	19, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
39	35, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
40	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		mod2eq1n2dvds 16258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
42	40, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
43	39, 42	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 1)
44	23, 43	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 1)
45	18, 44	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
46	8, 45	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  +∞cpnf 11143   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  [,)cico 13247  ⌊cfl 13694   mod cmo 13773  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  digitcdig 48706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-dvds 16164  df-dig 48707

This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  48731