Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dig2nn0o 47299
Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0o ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Proof of Theorem 0dig2nn0o
StepHypRef Expression
1 2nn 12285 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
3 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
5 nn0rp0 13432 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 482 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 47286 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1372 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
10 exp0 14031 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12482 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413div1d 11982 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6896 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) = (βŒŠβ€˜π‘))
1817oveq1d 7424 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2))
19 nn0z 12583 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 flid 13773 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2221oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
2322adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12583 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
2524adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
26 2z 12594 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
2726a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
28 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
30 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3130nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
33 dvdsval2 16200 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3525, 34mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1))
36 oddp1even 16287 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3837adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3935, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
4019adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 mod2eq1n2dvds 16290 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4339, 42mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod 2) = 1)
4423, 43eqtrd 2773 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = 1)
4518, 44eqtrd 2773 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
468, 45eqtrd 2773 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-dvds 16198  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47306
  Copyright terms: Public domain W3C validator