Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dig2nn0o 47252
Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0o ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Proof of Theorem 0dig2nn0o
StepHypRef Expression
1 2nn 12281 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
3 0nn0 12483 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
5 nn0rp0 13428 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 47239 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1371 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12283 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
10 exp0 14027 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413div1d 11978 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) = (βŒŠβ€˜π‘))
1817oveq1d 7420 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2))
19 nn0z 12579 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 flid 13769 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2221oveq1d 7420 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12579 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
26 2z 12590 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
2726a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
28 2ne0 12312 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
30 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3130nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
33 dvdsval2 16196 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3525, 34mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1))
36 oddp1even 16283 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3935, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
4019adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 mod2eq1n2dvds 16286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4339, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod 2) = 1)
4423, 43eqtrd 2772 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = 1)
4518, 44eqtrd 2772 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
468, 45eqtrd 2772 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  [,)cico 13322  βŒŠcfl 13751   mod cmo 13830  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  digitcdig 47234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194  df-dig 47235
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47259
  Copyright terms: Public domain W3C validator