Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0dig2nn0o 47377
Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0o ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Proof of Theorem 0dig2nn0o
StepHypRef Expression
1 2nn 12287 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
3 0nn0 12489 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
5 nn0rp0 13434 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 47364 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1371 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
10 exp0 14033 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12484 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413div1d 11984 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) = (βŒŠβ€˜π‘))
1817oveq1d 7426 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2))
19 nn0z 12585 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 flid 13775 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2221oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12585 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
26 2z 12596 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
2726a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
28 2ne0 12318 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
30 peano2nn0 12514 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3130nn0zd 12586 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
33 dvdsval2 16202 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3525, 34mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1))
36 oddp1even 16289 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3935, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
4019adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 mod2eq1n2dvds 16292 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4339, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod 2) = 1)
4423, 43eqtrd 2772 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = 1)
4518, 44eqtrd 2772 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
468, 45eqtrd 2772 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11247   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  [,)cico 13328  βŒŠcfl 13757   mod cmo 13836  β†‘cexp 14029   βˆ₯ cdvds 16199  digitcdig 47359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-dvds 16200  df-dig 47360
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47384
  Copyright terms: Public domain W3C validator