Theorem 0dig2nn0o 49608

Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
0dig2nn0o	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem 0dig2nn0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12363	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		nn0rp0 13533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7		nn0digval 49595	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9		2cn 12365	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		exp0 14154	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
11	9, 10	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
12	11	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13		nn0cn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	div1d 12032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
16	12, 15	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
17	16	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
18	17	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19		nn0z 12664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		flid 13894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
22	21	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24		nn0z 12664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
26		2z 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
28		2ne0 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
30		peano2nn0 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33		dvdsval2 16370	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
35	25, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∥ (𝑁 + 1))
36		oddp1even 16459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
37	19, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
39	35, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
40	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		mod2eq1n2dvds 16462	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
42	40, 41	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
43	39, 42	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 1)
44	23, 43	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 1)
45	18, 44	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
46	8, 45	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  +∞cpnf 11289   / cdiv 11920  ℕcn 12282  2c2 12344  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12640  [,)cico 13425  ⌊cfl 13876   mod cmo 13955  ↑cexp 14150   ∥ cdvds 16367  digitcdig 49590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-ico 13429  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-dvds 16368  df-dig 49591

This theorem is used by:  nn0sumshdiglemB  49615