Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2nn0o 47872
Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0o ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem 0dig2nn0o
StepHypRef Expression
1 2nn 12318 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3 0nn0 12520 . . . 4 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5 nn0rp0 13467 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 47859 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12320 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
10 exp0 14066 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12515 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1413div1d 12015 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6900 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
1817oveq1d 7434 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((⌊‘𝑁) mod 2))
19 nn0z 12616 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
20 flid 13809 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
2221oveq1d 7434 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
2322adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12616 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
2524adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
26 2z 12627 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
28 2ne0 12349 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
30 peano2nn0 12545 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3130nn0zd 12617 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3231adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
33 dvdsval2 16237 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3525, 34mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 2 ∥ (𝑁 + 1))
36 oddp1even 16324 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
3935, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4019adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 mod2eq1n2dvds 16327 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
4339, 42mpbird 256 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 mod 2) = 1)
4423, 43eqtrd 2765 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘𝑁) mod 2) = 1)
4518, 44eqtrd 2765 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
468, 45eqtrd 2765 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  +∞cpnf 11277   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  [,)cico 13361  cfl 13791   mod cmo 13870  cexp 14062  cdvds 16234  digitcdig 47854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-dvds 16235  df-dig 47855
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  47879
  Copyright terms: Public domain W3C validator