Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0dig2nn0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dig2nn0o 46773
Description: The last bit of an odd integer is 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
0dig2nn0o ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem 0dig2nn0o
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
3 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
5 nn0rp0 13379 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
65adantr 482 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 nn0digval 46760 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
82, 4, 6, 7syl3anc 1372 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2))
9 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
10 exp0 13978 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑0) = 1)
119, 10mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2↑0) = 1)
1211oveq2d 7378 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1))
13 nn0cn 12430 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1413div1d 11930 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 1) = 𝑁)
1612, 15eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1716fveq2d 6851 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) = (βŒŠβ€˜π‘))
1817oveq1d 7377 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2))
19 nn0z 12531 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 flid 13720 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
2221oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
2322adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = (𝑁 mod 2))
24 nn0z 12531 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
2524adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€)
26 2z 12542 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
2726a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
28 2ne0 12264 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
30 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
3130nn0zd 12532 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
33 dvdsval2 16146 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„€ ∧ 2 β‰  0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„€))
3525, 34mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1))
36 oddp1even 16233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3837adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁 ↔ 2 βˆ₯ (𝑁 + 1)))
3935, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
4019adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 mod2eq1n2dvds 16236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁))
4339, 42mpbird 257 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod 2) = 1)
4423, 43eqtrd 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘) mod 2) = 1)
4518, 44eqtrd 2777 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑0))) mod 2) = 1)
468, 45eqtrd 2777 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (0(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  [,)cico 13273  βŒŠcfl 13702   mod cmo 13781  β†‘cexp 13974   βˆ₯ cdvds 16143  digitcdig 46755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-dvds 16144  df-dig 46756
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglemB  46780
  Copyright terms: Public domain W3C validator