MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumodd 15727
Description: If every term in a sum is odd, then the sum is even iff the number of terms in the sum is even. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumodd.o ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumodd (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumodd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
2 hash0 13716 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
31, 2syl6eq 2869 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
43breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ 0))
5 sumeq1 15033 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
6 sum0 15066 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
75, 6syl6eq 2869 . . . 4 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = 0)
87breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ 0))
94, 8bibi12d 347 . 2 (𝑥 = ∅ → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0)))
10 fveq2 6663 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
1110breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝑦)))
12 sumeq1 15033 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1312breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1411, 13bibi12d 347 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
15 fveq2 6663 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1615breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
17 sumeq1 15033 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1817breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1916, 18bibi12d 347 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
20 fveq2 6663 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
2120breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝐴)))
22 sumeq1 15033 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322breq2d 5069 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2421, 23bibi12d 347 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)))
25 biidd 263 . 2 (𝜑 → (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0))
26 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
29 sumeven.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3029adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3130ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3328, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
34 sumodd.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
3534ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵)
36 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘2
37 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘
38 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
3936, 37, 38nfbr 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
4039nfn 1848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
41 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4241breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4342notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4440, 43rspc 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4526, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4635, 45syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4933, 48jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
51 sumeven.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
52 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
5352expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5551, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin))
5655imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
57 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
58 ssel 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6160imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
6257, 61, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
6356, 62fsumzcl 15080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
6463anim1i 614 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
65 opeo 15702 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6650, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6763zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
6833zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
69 addcom 10814 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
7069breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7170notbid 319 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7267, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7372adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7466, 73mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7574ex 413 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
7663anim1i 614 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
7749adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
78 opoe 15700 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7976, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8079ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8180con1d 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
8275, 81impbid 213 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
83 bitr3 354 . . . . 5 ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
8482, 83syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
85 bicom 223 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
86 bicom 223 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
8784, 85, 863imtr4g 297 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
88 notnotb 316 . . . . 5 (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦))
89 hashcl 13705 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9056, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9190nn0zd 12073 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℤ)
92 oddp1even 15681 . . . . . . 7 ((♯‘𝑦) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9493notbid 319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9588, 94syl5bb 284 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9695bibi1d 345 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
97 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
98 eldifn 4101 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
9998adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ¬ 𝑧𝑦)
10099adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
10156, 100jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦))
102 hashunsng 13741 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
10397, 101, 102sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
104103breq2d 5069 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
105 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
107 df-nel 3121 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
108100, 107sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
109 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
110 elun 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
11159com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
112 elsni 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
113 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
11427, 113syl5ibr 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
115112, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
116111, 115jaoi 851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
117110, 116sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
118117com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
119118adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
120119imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
121109, 120, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
122121ralrimiva 3179 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
123 fsumsplitsnun 15098 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
12456, 106, 108, 122, 123syl121anc 1367 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
125124breq2d 5069 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
126104, 125bibi12d 347 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
127 notbi 320 . . . 4 ((2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
128126, 127syl6bb 288 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
12987, 96, 1283imtr4d 295 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
1309, 14, 19, 24, 25, 129, 51findcard2d 8748 1 (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wnel 3120  wral 3135  Vcvv 3492  csb 3880  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  chash 13678  Σcsu 15030  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  evensumodd  15728  oddsumodd  15729  vtxdgoddnumeven  27262
  Copyright terms: Public domain W3C validator