MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumodd 16275
Description: If every term in a sum is odd, then the sum is even iff the number of terms in the sum is even. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumodd.o ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumodd (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumodd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
2 hash0 14273 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
31, 2eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
43breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ 0))
5 sumeq1 15579 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
6 sum0 15611 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
75, 6eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = 0)
87breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ 0))
94, 8bibi12d 346 . 2 (𝑥 = ∅ → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0)))
10 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
1110breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝑦)))
12 sumeq1 15579 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1312breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1411, 13bibi12d 346 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
15 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1615breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
17 sumeq1 15579 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1817breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1916, 18bibi12d 346 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
20 fveq2 6843 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
2120breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝐴)))
22 sumeq1 15579 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322breq2d 5118 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2421, 23bibi12d 346 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)))
25 biidd 262 . 2 (𝜑 → (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0))
26 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
2827adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
29 sumeven.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3029adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3130ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3328, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
34 sumodd.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
3534ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵)
36 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘2
37 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘
38 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
3936, 37, 38nfbr 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
4039nfn 1861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
41 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4241breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4342notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4440, 43rspc 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4526, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4635, 45syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 420 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4933, 48jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
51 sumeven.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
52 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
5352expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5551, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin))
5655imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
57 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
58 ssel 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6160imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
6257, 61, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
6356, 62fsumzcl 15625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
6463anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
65 opeo 16252 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6650, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6763zcnd 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
6833zcnd 12613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
69 addcom 11346 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
7069breq2d 5118 . . . . . . . . . . 11 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7170notbid 318 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7267, 68, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7372adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7466, 73mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7574ex 414 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
7663anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
7749adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
78 opoe 16250 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7976, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8079ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8180con1d 145 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
8275, 81impbid 211 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
83 bitr3 353 . . . . 5 ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
8482, 83syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
85 bicom 221 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
86 bicom 221 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
8784, 85, 863imtr4g 296 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
88 notnotb 315 . . . . 5 (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦))
89 hashcl 14262 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9056, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9190nn0zd 12530 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℤ)
92 oddp1even 16231 . . . . . . 7 ((♯‘𝑦) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9493notbid 318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9588, 94bitrid 283 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9695bibi1d 344 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
97 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
98 eldifn 4088 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
9998adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ¬ 𝑧𝑦)
10099adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
10156, 100jca 513 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦))
102 hashunsng 14298 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
10397, 101, 102sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
104103breq2d 5118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
105 vex 3448 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
107 df-nel 3047 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
108100, 107sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
109 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
110 elun 4109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
11159com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
112 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
113 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
11427, 113syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
115112, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
116111, 115jaoi 856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
117110, 116sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
118117com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
119118adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
120119imp 408 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
121109, 120, 29syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
122121ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
123 fsumsplitsnun 15645 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
12456, 106, 108, 122, 123syl121anc 1376 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
125124breq2d 5118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
126104, 125bibi12d 346 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
127 notbi 319 . . . 4 ((2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
128126, 127bitrdi 287 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
12987, 96, 1283imtr4d 294 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
1309, 14, 19, 24, 25, 129, 51findcard2d 9113 1 (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3046  wral 3061  Vcvv 3444  csb 3856  cdif 3908  cun 3909  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  2c2 12213  0cn0 12418  cz 12504  chash 14236  Σcsu 15576  cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  evensumodd  16276  oddsumodd  16277  vtxdgoddnumeven  28543
  Copyright terms: Public domain W3C validator