Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 35932
Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem10.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem10.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem10.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
knoppndvlem10.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem10.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฆ)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
98peano2zd 12691 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13 notnot 142 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
158adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
16 oddp1even 16312 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
1814, 17mtbid 324 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘€ + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 35931 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
2114notnotrd 133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘€)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 35930 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = 0)
2319, 22oveq12d 7432 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ)) = (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0))
244knoppndvlem3 35925 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
2524simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2625recnd 11264 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2726, 6expcld 14134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12312 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
29 2ne0 12338 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3127, 28, 30divcld 12012 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
3231subid1d 11582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3332adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3423, 33eqtrd 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3534fveq2d 6895 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)))
376nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3811, 37, 9knoppndvlem1 35923 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
3936, 38eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 35906 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„)
4140recnd 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
4311, 37, 8knoppndvlem1 35923 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
4442, 43eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 35906 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„)
4645recnd 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4741, 46abssubd 15424 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))))
4847adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))))
494adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
506adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
518adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5211adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
53 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 35931 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
559adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
5753, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 35930 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) = 0)
5954, 58oveq12d 7432 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ)) = (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0))
6032adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
6159, 60eqtrd 2767 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
6261fveq2d 6895 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6348, 62eqtrd 2767 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 812 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 15426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) / (absโ€˜2)))
6626, 6absexpd 15423 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ))
67 0le2 12336 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
68 2re 12308 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
6968absidi 15348 . . . . . 6 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (absโ€˜2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜2) = 2)
7266, 71oveq12d 7432 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) / (absโ€˜2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
7365, 72eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
7464, 73eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  (,)cioo 13348  โŒŠcfl 13779  โ†‘cexp 14050  abscabs 15205   โˆฅ cdvds 16222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  35937
  Copyright terms: Public domain W3C validator