Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 35030
Description: Lemma for knoppndv 35043. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem10.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem10.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem10.b ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
knoppndvlem10.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem10.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ   ๐‘ฅ,๐ฝ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฆ)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
54adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
98peano2zd 12615 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
13 notnot 142 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
158adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
16 oddp1even 16231 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
1814, 17mtbid 324 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘€ + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 35029 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
2114notnotrd 133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘€)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 35028 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = 0)
2319, 22oveq12d 7376 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ)) = (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0))
244knoppndvlem3 35023 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
2524simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2625recnd 11188 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2726, 6expcld 14057 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
29 2ne0 12262 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3127, 28, 30divcld 11936 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆˆ โ„‚)
3231subid1d 11506 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3332adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3423, 33eqtrd 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
3534fveq2d 6847 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)))
376nn0zd 12530 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
3811, 37, 9knoppndvlem1 35021 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท (๐‘€ + 1)) โˆˆ โ„)
3936, 38eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 35004 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„)
4140recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
4311, 37, 8knoppndvlem1 35021 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
4442, 43eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 35004 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„)
4645recnd 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆˆ โ„‚)
4741, 46abssubd 15344 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))))
4847adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))))
494adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
506adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
518adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5211adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
53 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 35029 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
559adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” 2 โˆฅ (๐‘€ + 1)))
5753, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘€ + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 35028 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) = 0)
5954, 58oveq12d 7376 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ)) = (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0))
6032adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2) โˆ’ 0) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
6159, 60eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ)) = ((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2))
6261fveq2d 6847 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6348, 62eqtrd 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€) โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 812 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 15346 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) / (absโ€˜2)))
6626, 6absexpd 15343 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) = ((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ))
67 0le2 12260 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
68 2re 12232 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
6968absidi 15268 . . . . . 6 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (absโ€˜2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜2) = 2)
7266, 71oveq12d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ถโ†‘๐ฝ)) / (absโ€˜2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
7365, 72eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถโ†‘๐ฝ) / 2)) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
7464, 73eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐ฝ) โˆ’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐ฝ))) = (((absโ€˜๐ถ)โ†‘๐ฝ) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  (,)cioo 13270  โŒŠcfl 13701  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  35035
  Copyright terms: Public domain W3C validator