Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 34840
Description: Lemma for knoppndv 34853. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem10.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem10.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem10.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐵,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
54adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98peano2zd 12539 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 notnot 142 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑀 → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
158adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 oddp1even 16157 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1814, 17mtbid 324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ (𝑀 + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 34839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
2114notnotrd 133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 34838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
2319, 22oveq12d 7364 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
244knoppndvlem3 34833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2524simpld 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2625recnd 11113 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2726, 6expcld 13974 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
28 2cnd 12161 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29 2ne0 12187 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3127, 28, 30divcld 11861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
3231subid1d 11431 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3332adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3423, 33eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
3534fveq2d 6838 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
376nn0zd 12534 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3811, 37, 9knoppndvlem1 34831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 34814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 11113 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4311, 37, 8knoppndvlem1 34831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 34814 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4645recnd 11113 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
4741, 46abssubd 15269 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
4847adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
494adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
506adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
518adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5211adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 34839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
559adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
5753, 56mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (𝑀 + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 34838 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = 0)
5954, 58oveq12d 7364 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
6032adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
6159, 60eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
6261fveq2d 6838 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6348, 62eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 15271 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)))
6626, 6absexpd 15268 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
67 0le2 12185 . . . . . 6 0 ≤ 2
68 2re 12157 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6968absidi 15193 . . . . . 6 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
7266, 71oveq12d 7364 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7365, 72eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7464, 73eqtrd 2777 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5100  cmpt 5183  cfv 6488  (class class class)co 7346  cr 10980  0cc0 10981  1c1 10982   + caddc 10984   · cmul 10986   < clt 11119  cle 11120  cmin 11315  -cneg 11316   / cdiv 11742  cn 12083  2c2 12138  0cn0 12343  cz 12429  (,)cioo 13189  cfl 13620  cexp 13892  abscabs 15049  cdvds 16067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-ioo 13193  df-ico 13195  df-fl 13622  df-seq 13832  df-exp 13893  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-dvds 16068
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  34845
  Copyright terms: Public domain W3C validator