Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 36523
Description: Lemma for knoppndv 36536. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem10.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem10.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem10.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐵,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98peano2zd 12727 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 notnot 142 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑀 → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
158adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 oddp1even 16382 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1814, 17mtbid 324 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ (𝑀 + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 36522 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
2114notnotrd 133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 36521 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
2319, 22oveq12d 7450 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
244knoppndvlem3 36516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2524simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2625recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2726, 6expcld 14187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
28 2cnd 12345 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29 2ne0 12371 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3127, 28, 30divcld 12044 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
3231subid1d 11610 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3423, 33eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
3534fveq2d 6909 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
376nn0zd 12641 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3811, 37, 9knoppndvlem1 36514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 36497 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4311, 37, 8knoppndvlem1 36514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 36497 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4645recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
4741, 46abssubd 15493 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
4847adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
494adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
506adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
518adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 36522 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
559adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
5753, 56mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (𝑀 + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 36521 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = 0)
5954, 58oveq12d 7450 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
6032adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
6159, 60eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
6261fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6348, 62eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 812 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 15495 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)))
6626, 6absexpd 15492 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
67 0le2 12369 . . . . . 6 0 ≤ 2
68 2re 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6968absidi 15417 . . . . . 6 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
7266, 71oveq12d 7450 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7365, 72eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7464, 73eqtrd 2776 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  (,)cioo 13388  cfl 13831  cexp 14103  abscabs 15274  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  36528
  Copyright terms: Public domain W3C validator