Proof of Theorem ofscom
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ancom 464 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ↔ (𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉)) |
2 | 1 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ↔ (𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉))) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
4 | | simp12 1205 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
5 | | simp13 1206 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
6 | | simp23 1209 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
7 | | simp31 1210 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
8 | | cgrcom 33930 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ↔ 〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉)) |
9 | 3, 4, 5, 6, 7, 8 | syl122anc 1380 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ↔ 〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉)) |
10 | | simp21 1207 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
11 | | simp32 1211 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
12 | | cgrcom 33930 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉 ↔ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉)) |
13 | 3, 5, 10, 7, 11, 12 | syl122anc 1380 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉 ↔ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉)) |
14 | 9, 13 | anbi12d 634 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ↔ (〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉 ∧ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉))) |
15 | | simp22 1208 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
16 | | simp33 1212 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
17 | | cgrcom 33930 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ↔ 〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉)) |
18 | 3, 4, 15, 6, 16, 17 | syl122anc 1380 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ↔ 〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉)) |
19 | | cgrcom 33930 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉 ↔ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉)) |
20 | 3, 5, 15, 7, 16, 19 | syl122anc 1380 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉 ↔ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉)) |
21 | 18, 20 | anbi12d 634 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉) ↔ (〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉 ∧ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉))) |
22 | 2, 14, 21 | 3anbi123d 1437 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉)) ↔ ((𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉 ∧ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉 ∧ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉)))) |
23 | | brofs 33945 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 OuterFiveSeg 〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 ↔ ((𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉 ∧ 𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐵〉Cgr〈𝐸, 𝐹〉 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉Cgr〈𝐹, 𝐺〉) ∧ (〈𝐴, 𝐷〉Cgr〈𝐸, 𝐻〉 ∧ 〈𝐵, 𝐷〉Cgr〈𝐹, 𝐻〉)))) |
24 | | brofs 33945 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 OuterFiveSeg 〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 ↔ ((𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉 ∧ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉 ∧ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉)))) |
25 | 3, 6, 7, 11, 16, 4, 5, 10, 15, 24 | syl333anc 1403 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 OuterFiveSeg 〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 ↔ ((𝐹 Btwn 〈𝐸, 𝐺〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐹〉Cgr〈𝐴, 𝐵〉 ∧ 〈𝐹, 𝐺〉Cgr〈𝐵, 𝐶〉) ∧ (〈𝐸, 𝐻〉Cgr〈𝐴, 𝐷〉 ∧ 〈𝐹, 𝐻〉Cgr〈𝐵, 𝐷〉)))) |
26 | 22, 23, 25 | 3bitr4d 314 |
1
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉 OuterFiveSeg 〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 ↔ 〈〈𝐸, 𝐹〉, 〈𝐺, 𝐻〉〉 OuterFiveSeg 〈〈𝐴, 𝐵〉, 〈𝐶, 𝐷〉〉)) |