Theorem opfi1ind 14551

Description: Properties of an ordered pair with a finite first component, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as ordered pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, e.g., fusgrfis 29347. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opfi1ind.e	⊢ 𝐸 ∈ V
opfi1ind.f	⊢ 𝐹 ∈ V
opfi1ind.1	⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑))
opfi1ind.2	⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃))
opfi1ind.3	⊢ ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → ⟨(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹⟩ ∈ 𝐺)
opfi1ind.4	⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒))
opfi1ind.base	⊢ ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓)
opfi1ind.step	⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
opfi1ind	⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸,𝑛,𝑣   𝑓,𝐹,𝑤   𝑒,𝐺,𝑓,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝜓,𝑓,𝑛,𝑤,𝑦   𝜃,𝑒,𝑛,𝑣   𝜒,𝑓,𝑤   𝜑,𝑒,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤,𝑓)   𝜓(𝑣,𝑒)   𝜒(𝑦,𝑣,𝑒,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑤,𝑓)   𝐸(𝑦,𝑤,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑒,𝑛)   𝑉(𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem opfi1ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge0 14426	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 0 ≤ (♯‘𝑉))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 0 ≤ (♯‘𝑉))
3		opfi1ind.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
4		opfi1ind.f	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
5		0nn0 12541	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		opfi1ind.1	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑))
7		opfi1ind.2	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃))
8		opfi1ind.3	. . 3 ⊢ ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → ⟨(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹⟩ ∈ 𝐺)
9		opfi1ind.4	. . 3 ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒))
10		opfi1ind.base	. . 3 ⊢ ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓)
11		opfi1ind.step	. . 3 ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	opfi1uzind 14550	. 2 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉)) → 𝜑)
13	2, 12	mpd3an3 1464	1 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370

This theorem is referenced by:  fusgrfis  29347  cusgrsize  29472  finsumvtxdg2size  29568