Theorem oppgsubg 18494

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubg	⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 18287	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		subgrcl 18287	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppggrpb 18489	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
5	2, 4	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	oppgsubm 18493	. . . . . . 7 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
7	6	eleq2i 2907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	3, 9	oppginv 18490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11	10	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝑂)‘𝑦))
12	11	eleq1d 2900	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
13	12	ralbidv 3200	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
14	8, 13	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
15	9	issubg3 18300	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
17	16	issubg3 18300	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
18	4, 17	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
19	14, 15, 18	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 382	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
21	20	eqriv 2821	1 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ‘cfv 6358  SubMndcsubmnd 17958  Grpcgrp 18106  inv_gcminusg 18107  SubGrpcsubg 18276  opp_gcoppg 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-oppg 18477

This theorem is referenced by:  lsmmod2  18805  lsmdisj2r  18814