Theorem oppgsubg 19329

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubg	⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19098	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		subgrcl 19098	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppggrpb 19324	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
5	2, 4	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	oppgsubm 19328	. . . . . . 7 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
7	6	eleq2i 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	3, 9	oppginv 19325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11	10	fveq1d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝑂)‘𝑦))
12	11	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
13	12	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
14	8, 13	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
15	9	issubg3 19111	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
17	16	issubg3 19111	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
18	4, 17	sylbi 218	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
19	14, 15, 18	3bitr4d 312	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 379	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
21	20	eqriv 2736	1 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ‘cfv 6485  SubMndcsubmnd 18741  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087  opp_gcoppg 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-oppg 19312

This theorem is referenced by:  lsmmod2  19642  lsmdisj2r  19651