Theorem oppgsubg 19332

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubg	⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19101	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		subgrcl 19101	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppggrpb 19327	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
5	2, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	oppgsubm 19331	. . . . . . 7 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
7	6	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	3, 9	oppginv 19328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11	10	fveq1d 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝑂)‘𝑦))
12	11	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
13	12	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
14	8, 13	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
15	9	issubg3 19114	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
17	16	issubg3 19114	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
18	4, 17	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
19	14, 15, 18	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
21	20	eqriv 2734	1 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  SubMndcsubmnd 18744  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  SubGrpcsubg 19090  opp_gcoppg 19314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-oppg 19315

This theorem is referenced by:  lsmmod2  19645  lsmdisj2r  19654