MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubg 18105
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubg (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 17912 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2 subgrcl 17912 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppggrpb 18100 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
52, 4sylibr 226 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
63oppgsubm 18104 . . . . . . 7 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
76eleq2i 2870 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
103, 9oppginv 18101 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
1110fveq1d 6413 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝑂)‘𝑦))
1211eleq1d 2863 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
1312ralbidv 3167 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
148, 13anbi12d 625 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
159issubg3 17925 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16 eqid 2799 . . . . . 6 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1716issubg3 17925 . . . . 5 (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
184, 17sylbi 209 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
1914, 15, 183bitr4d 303 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
201, 5, 19pm5.21nii 370 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2120eqriv 2796 1 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cfv 6101  SubMndcsubmnd 17649  Grpcgrp 17738  invgcminusg 17739  SubGrpcsubg 17901  oppgcoppg 18087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-subg 17904  df-oppg 18088
This theorem is referenced by:  lsmmod2  18402  lsmdisj2r  18411
  Copyright terms: Public domain W3C validator