MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubg 19066
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppgsubg (SubGrpβ€˜πΊ) = (SubGrpβ€˜π‘‚)

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 18856 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 subgrcl 18856 . . . 4 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 ∈ Grp)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
43oppggrpb 19061 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
52, 4sylibr 233 . . 3 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
63oppgsubm 19065 . . . . . . 7 (SubMndβ€˜πΊ) = (SubMndβ€˜π‘‚)
76eleq2i 2828 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚))
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚)))
9 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
103, 9oppginv 19062 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜π‘‚))
1110fveq1d 6827 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) = ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦))
1211eleq1d 2821 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
1312ralbidv 3170 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯))
148, 13anbi12d 631 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
159issubg3 18869 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
16 eqid 2736 . . . . . 6 (invgβ€˜π‘‚) = (invgβ€˜π‘‚)
1716issubg3 18869 . . . . 5 (𝑂 ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
184, 17sylbi 216 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚) ↔ (π‘₯ ∈ (SubMndβ€˜π‘‚) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((invgβ€˜π‘‚)β€˜π‘¦) ∈ π‘₯)))
1914, 15, 183bitr4d 310 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚)))
201, 5, 19pm5.21nii 379 . 2 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜π‘‚))
2120eqriv 2733 1 (SubGrpβ€˜πΊ) = (SubGrpβ€˜π‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6479  SubMndcsubmnd 18526  Grpcgrp 18673  invgcminusg 18674  SubGrpcsubg 18845  oppgcoppg 19045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-subg 18848  df-oppg 19046
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19377  lsmdisj2r  19386
  Copyright terms: Public domain W3C validator