Theorem oppgsubg 18622

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubg	⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 18415	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		subgrcl 18415	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppggrpb 18617	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
5	2, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	oppgsubm 18621	. . . . . . 7 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
7	6	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	3, 9	oppginv 18618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11	10	fveq1d 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝑂)‘𝑦))
12	11	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
13	12	ralbidv 3110	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
14	8, 13	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
15	9	issubg3 18428	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
17	16	issubg3 18428	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
18	4, 17	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
19	14, 15, 18	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 383	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
21	20	eqriv 2736	1 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ‘cfv 6350  SubMndcsubmnd 18084  Grpcgrp 18232  inv_gcminusg 18233  SubGrpcsubg 18404  opp_gcoppg 18604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-0g 16831  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-subg 18407  df-oppg 18605

This theorem is referenced by:  lsmmod2  18933  lsmdisj2r  18942