MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgsubg 18421
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgsubg (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 18214 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2 subgrcl 18214 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3 oppggic.o . . . . 5 𝑂 = (oppg𝐺)
43oppggrpb 18416 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
52, 4sylibr 235 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
63oppgsubm 18420 . . . . . . 7 (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
76eleq2i 2909 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
103, 9oppginv 18417 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
1110fveq1d 6669 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝑂)‘𝑦))
1211eleq1d 2902 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
1312ralbidv 3202 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
148, 13anbi12d 630 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
159issubg3 18227 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16 eqid 2826 . . . . . 6 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1716issubg3 18227 . . . . 5 (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
184, 17sylbi 218 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦𝑥 ((invg𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
1914, 15, 183bitr4d 312 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
201, 5, 19pm5.21nii 380 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2120eqriv 2823 1 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cfv 6352  SubMndcsubmnd 17943  Grpcgrp 18033  invgcminusg 18034  SubGrpcsubg 18203  oppgcoppg 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-subg 18206  df-oppg 18404
This theorem is referenced by:  lsmmod2  18722  lsmdisj2r  18731
  Copyright terms: Public domain W3C validator