Theorem oppgsubg 19589

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgsubg	⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem oppgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19353	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2		subgrcl 19353	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝑂 ∈ Grp)
3		oppggic.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4	3	oppggrpb 19584	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
5	2, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) → 𝐺 ∈ Grp)
6	3	oppgsubm 19588	. . . . . . 7 ⊢ (SubMnd‘𝐺) = (SubMnd‘𝑂)
7	6	eleq2i 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂)))
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10	3, 9	oppginv 19585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11	10	fveq1d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝑂)‘𝑦))
12	11	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
13	12	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥))
14	8, 13	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
15	9	issubg3 19367	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
17	16	issubg3 19367	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
18	4, 17	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubMnd‘𝑂) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((invg‘𝑂)‘𝑦) ∈ 𝑥)))
19	14, 15, 18	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
21	20	eqriv 2760	1 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ‘cfv 6546  SubMndcsubmnd 18989  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157  SubGrpcsubg 19342  opp_gcoppg 19571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-subg 19345  df-oppg 19572

This theorem is used by:  lsmmod2  19902  lsmdisj2r  19911