Theorem opprneg 19993

Description: The negative function in an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprneg.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprneg	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Proof of Theorem opprneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		opprneg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpinvfval 18725	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
6		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6, 1	opprbas 19985	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	6, 2	oppradd 19987	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
9	6, 3	oppr0 19991	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
10		eqid 2738	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
11	7, 8, 9, 10	grpinvfval 18725	. 2 ⊢ (invg‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
12	5, 11	eqtr4i 2769	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1542   ↦ cmpt 5187  ‘cfv 6492  ℩crio 7305  (class class class)co 7350  Basecbs 17019  +_gcplusg 17069  0_gc0g 17257  inv_gcminusg 18685  opp_rcoppr 19977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-0g 17259  df-minusg 18688  df-oppr 19978

This theorem is referenced by:  unitnegcl  20039  ldualneg  37542  ldualvsub  37548  lcdneg  40004  lcdvsub  40011