Theorem opprneg 20279

Description: The negative function in an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprneg.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprneg	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Proof of Theorem opprneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		opprneg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpinvfval 18901	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
6		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6, 1	opprbas 20271	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	6, 2	oppradd 20272	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
9	6, 3	oppr0 20277	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
11	7, 8, 9, 10	grpinvfval 18901	. 2 ⊢ (invg‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
12	5, 11	eqtr4i 2759	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1541   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  0_gc0g 17353  inv_gcminusg 18857  opp_rcoppr 20264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-0g 17355  df-minusg 18860  df-oppr 20265

This theorem is referenced by:  unitnegcl  20325  oppreqg  33459  ldualneg  39258  ldualvsub  39264  lcdneg  41719  lcdvsub  41726