Theorem opprneg 18951

Description: The negative function in an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprneg.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprneg	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Proof of Theorem opprneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2799	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2799	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		opprneg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpinvfval 17776	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
6		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6, 1	opprbas 18945	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	6, 2	oppradd 18946	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
9	6, 3	oppr0 18949	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
10		eqid 2799	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
11	7, 8, 9, 10	grpinvfval 17776	. 2 ⊢ (invg‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
12	5, 11	eqtr4i 2824	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1653   ↦ cmpt 4922  ‘cfv 6101  ℩crio 6838  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  0_gc0g 16415  inv_gcminusg 17739  opp_rcoppr 18938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-0g 16417  df-minusg 17742  df-oppr 18939

This theorem is referenced by:  unitnegcl  18997  ldualneg  35170  ldualvsub  35176  lcdneg  37631  lcdvsub  37638