Theorem lcdvsub 42940

Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsub.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
lcdvsub.e	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcdvsub.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐶)
lcdvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsub.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
lcdvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsub.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsub.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsub.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		lcdvsub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		lcdvsub.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
8		lcdvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
9		lcdvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		lcdvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 21243	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
17		lcdvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
18	16, 17	opprneg 20632	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑆))
19		lcdvsub.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lcdvsub.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
21	1, 19, 20, 16, 2, 10, 3	lcdsca 42922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr‘𝑆))
22	21	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr‘𝑆)))
23	18, 22	eqtr4id 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
24		lcdvsub.e	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
25	16, 24	oppr1 20631	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑆))
26	21	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr‘𝑆)))
27	25, 26	eqtr4id 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
28	23, 27	fveq12d 6923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
29	28	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
30	29	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
31	15, 30	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  1_rcur 20458  opp_rcoppr 20617  LModclmod 21186  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  LCDualclcd 42909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lcv 40342  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-lcdual 42910

This theorem is used by:  mapdpglem30  43025