Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsub 37691
Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsub.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n 𝑁 = (invg𝑆)
lcdvsub.e 1 = (1r𝑆)
lcdvsub.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p + = (+g𝐶)
lcdvsub.t · = ( ·𝑠𝐶)
lcdvsub.m = (-g𝐶)
lcdvsub.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsub.f (𝜑𝐹𝑉)
lcdvsub.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsub (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub
StepHypRef Expression
1 lcdvsub.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsub.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsub.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37666 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsub.f . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 lcdvsub.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
7 lcdvsub.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐶)
8 lcdvsub.p . . . 4 + = (+g𝐶)
9 lcdvsub.m . . . 4 = (-g𝐶)
10 eqid 2824 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 lcdvsub.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2824 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2824 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19273 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝑉𝐺𝑉) → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16 lcdvsub.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17 lcdvsub.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 eqid 2824 . . . . . . . 8 (oppr𝑆) = (oppr𝑆)
191, 16, 17, 18, 2, 10, 3lcdsca 37673 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr𝑆))
2019fveq2d 6436 . . . . . 6 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr𝑆)))
21 lcdvsub.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑆)
2218, 21opprneg 18988 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑆))
2320, 22syl6reqr 2879 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
2419fveq2d 6436 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr𝑆)))
25 lcdvsub.e . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
2618, 25oppr1 18987 . . . . . 6 1 = (1r‘(oppr𝑆))
2724, 26syl6reqr 2879 . . . . 5 (𝜑1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
2823, 27fveq12d 6439 . . . 4 (𝜑 → (𝑁1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
2928oveq1d 6919 . . 3 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
3029oveq2d 6920 . 2 (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
3115, 30eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  Scalarcsca 16307   ·𝑠 cvsca 16308  invgcminusg 17776  -gcsg 17777  1rcur 18854  opprcoppr 18975  LModclmod 19218  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-undef 7663  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-proset 17280  df-poset 17298  df-plt 17310  df-lub 17326  df-glb 17327  df-join 17328  df-meet 17329  df-p0 17391  df-p1 17392  df-lat 17398  df-clat 17460  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-subg 17941  df-cntz 18099  df-oppg 18125  df-lsm 18401  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-lvec 19461  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  37776
  Copyright terms: Public domain W3C validator