Theorem lcdvsub 40791

Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsub.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
lcdvsub.e	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcdvsub.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐶)
lcdvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsub.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
lcdvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsub.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsub.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsub.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 40766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		lcdvsub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		lcdvsub.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
8		lcdvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
9		lcdvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		lcdvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 20671	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
17		lcdvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
18	16, 17	opprneg 20242	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑆))
19		lcdvsub.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lcdvsub.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
21	1, 19, 20, 16, 2, 10, 3	lcdsca 40773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr‘𝑆))
22	21	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr‘𝑆)))
23	18, 22	eqtr4id 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
24		lcdvsub.e	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
25	16, 24	oppr1 20241	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑆))
26	21	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr‘𝑆)))
27	25, 26	eqtr4id 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
28	23, 27	fveq12d 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
29	28	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
30	29	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
31	15, 30	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  inv_gcminusg 18856  -_gcsg 18857  1_rcur 20075  opp_rcoppr 20224  LModclmod 20614  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  40876