Theorem lcdvsub 42490

Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsub.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
lcdvsub.e	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcdvsub.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐶)
lcdvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsub.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
lcdvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsub.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsub.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsub.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42465	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		lcdvsub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		lcdvsub.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
8		lcdvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
9		lcdvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		lcdvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 21101	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
17		lcdvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
18	16, 17	opprneg 20492	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑆))
19		lcdvsub.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lcdvsub.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
21	1, 19, 20, 16, 2, 10, 3	lcdsca 42472	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr‘𝑆))
22	21	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr‘𝑆)))
23	18, 22	eqtr4id 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
24		lcdvsub.e	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
25	16, 24	oppr1 20491	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑆))
26	21	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr‘𝑆)))
27	25, 26	eqtr4id 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
28	23, 27	fveq12d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
29	28	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
30	29	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
31	15, 30	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  inv_gcminusg 19058  -_gcsg 19059  1_rcur 20320  opp_rcoppr 20477  LModclmod 21044  HLchlt 40223  LHypclh 40857  DVecHcdvh 41951  LCDualclcd 42459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-0g 17526  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-oppg 19473  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-nzr 20673  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-lsatoms 39849  df-lshyp 39850  df-lcv 39892  df-lfl 39931  df-lkr 39959  df-ldual 39997  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tgrp 41616  df-tendo 41628  df-edring 41630  df-dveca 41876  df-disoa 41902  df-dvech 41952  df-dib 42012  df-dic 42046  df-dih 42102  df-doch 42221  df-djh 42268  df-lcdual 42460

This theorem is used by:  mapdpglem30  42575