Theorem lcdvsub 42201

Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsub.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
lcdvsub.e	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lcdvsub.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐶)
lcdvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsub.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
lcdvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsub.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsub.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsub.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42176	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		lcdvsub.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
7		lcdvsub.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
8		lcdvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐶)
9		lcdvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		lcdvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 20971	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
17		lcdvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
18	16, 17	opprneg 20386	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑆))
19		lcdvsub.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lcdvsub.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
21	1, 19, 20, 16, 2, 10, 3	lcdsca 42183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr‘𝑆))
22	21	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr‘𝑆)))
23	18, 22	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
24		lcdvsub.e	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
25	16, 24	oppr1 20385	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑆))
26	21	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr‘𝑆)))
27	25, 26	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
28	23, 27	fveq12d 6868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
29	28	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
30	29	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
31	15, 30	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  inv_gcminusg 18966  -_gcsg 18967  1_rcur 20217  opp_rcoppr 20371  LModclmod 20914  HLchlt 39934  LHypclh 40568  DVecHcdvh 41662  LCDualclcd 42170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-riotaBAD 39537

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-undef 8246  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-0g 17460  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-proset 18316  df-poset 18335  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18454  df-clat 18521  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-subg 19155  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19666  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-invr 20423  df-dvr 20436  df-nzr 20549  df-rlreg 20730  df-domn 20731  df-drng 20767  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-lvec 21157  df-lsatoms 39560  df-lshyp 39561  df-lcv 39603  df-lfl 39642  df-lkr 39670  df-ldual 39708  df-oposet 39760  df-ol 39762  df-oml 39763  df-covers 39850  df-ats 39851  df-atl 39882  df-cvlat 39906  df-hlat 39935  df-llines 40082  df-lplanes 40083  df-lvols 40084  df-lines 40085  df-psubsp 40087  df-pmap 40088  df-padd 40380  df-lhyp 40572  df-laut 40573  df-ldil 40688  df-ltrn 40689  df-trl 40743  df-tgrp 41327  df-tendo 41339  df-edring 41341  df-dveca 41587  df-disoa 41613  df-dvech 41663  df-dib 41723  df-dic 41757  df-dih 41813  df-doch 41932  df-djh 41979  df-lcdual 42171

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  42286