Theorem ldualvsub 39727

Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsub.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ldualvsub.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldualvsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsub.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsub.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39725	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsub.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		ldualvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		ldualvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		ldualvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20957	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
19		ldualvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
20	18, 19	opprneg 20372	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
21		ldualvsub.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
22	21, 18, 1, 12, 2	ldualsca 39704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘𝑅))
23	22	fveq2d 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
24	20, 23	eqtr4id 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
25		ldualvsub.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26	18, 25	oppr1 20371	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
27	22	fveq2d 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
28	26, 27	eqtr4id 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
29	24, 28	fveq12d 6863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
30	29	oveq1d 7400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
31	30	oveq2d 7401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
32	17, 31	eqtr4d 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  1_rcur 20203  opp_rcoppr 20357  LModclmod 20900  LFnlclfn 39629  LDualcld 39695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-lmod 20902  df-lfl 39630  df-ldual 39696

This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  39728  lcfrlem2  42115