Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsub 38538
Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvsub.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
ldualvsub.u 1 = (1rβ€˜π‘…)
ldualvsub.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsub.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsub.p + = (+gβ€˜π·)
ldualvsub.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
ldualvsub.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsub.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsub.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsub (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺 + ((π‘β€˜ 1 ) Β· 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 ldualvsub.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2lduallmod 38536 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsub.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
6 ldualvsub.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 38510 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
8 ldualvsub.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 38510 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
10 ldualvsub.p . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
11 ldualvsub.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
12 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
13 ldualvsub.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
14 eqid 2726 . . . 4 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))
15 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 20763 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺 + (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) Β· 𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺 + (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) Β· 𝐻)))
18 eqid 2726 . . . . . . 7 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
19 ldualvsub.n . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
2018, 19opprneg 20253 . . . . . 6 𝑁 = (invgβ€˜(opprβ€˜π‘…))
21 ldualvsub.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2221, 18, 1, 12, 2ldualsca 38515 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) = (opprβ€˜π‘…))
2322fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2420, 23eqtr4id 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
25 ldualvsub.u . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘…)
2618, 25oppr1 20252 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
2722fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2826, 27eqtr4id 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
2924, 28fveq12d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜ 1 ) = ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))))
3029oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜ 1 ) Β· 𝐻) = (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) Β· 𝐻))
3130oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 + ((π‘β€˜ 1 ) Β· 𝐻)) = (𝐺 + (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) Β· 𝐻)))
3217, 31eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺 + ((π‘β€˜ 1 ) Β· 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  invgcminusg 18864  -gcsg 18865  1rcur 20086  opprcoppr 20235  LModclmod 20706  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-lmod 20708  df-lfl 38441  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  38539  lcfrlem2  40927
  Copyright terms: Public domain W3C validator