Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsub 35176
Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n 𝑁 = (invg𝑅)
ldualvsub.u 1 = (1r𝑅)
ldualvsub.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p + = (+g𝐷)
ldualvsub.t · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsub.m = (-g𝐷)
ldualvsub.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsub.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsub (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsub.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 35174 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsub.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsub.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 35148 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsub.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 35148 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 ldualvsub.p . . . 4 + = (+g𝐷)
11 ldualvsub.m . . . 4 = (-g𝐷)
12 eqid 2799 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 ldualvsub.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2799 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2799 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 19236 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18 ldualvsub.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
19 eqid 2799 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2018, 19, 1, 12, 2ldualsca 35153 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr𝑅))
2120fveq2d 6415 . . . . . 6 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr𝑅)))
22 ldualvsub.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
2319, 22opprneg 18951 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑅))
2421, 23syl6reqr 2852 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
2520fveq2d 6415 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr𝑅)))
26 ldualvsub.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
2719, 26oppr1 18950 . . . . . 6 1 = (1r‘(oppr𝑅))
2825, 27syl6reqr 2852 . . . . 5 (𝜑1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
2924, 28fveq12d 6418 . . . 4 (𝜑 → (𝑁1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
3029oveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
3130oveq2d 6894 . 2 (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
3217, 31eqtr4d 2836 1 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  invgcminusg 17739  -gcsg 17740  1rcur 18817  opprcoppr 18938  LModclmod 19181  LFnlclfn 35078  LDualcld 35144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-lmod 19183  df-lfl 35079  df-ldual 35145
This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  35177  lcfrlem2  37564
  Copyright terms: Public domain W3C validator