Theorem ldualvsub 37096

Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsub.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ldualvsub.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldualvsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsub.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsub.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 37094	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsub.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 37068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 37068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		ldualvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		ldualvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		ldualvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20093	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
19		ldualvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
20	18, 19	opprneg 19792	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
21		ldualvsub.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
22	21, 18, 1, 12, 2	ldualsca 37073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘𝑅))
23	22	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
24	20, 23	eqtr4id 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
25		ldualvsub.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26	18, 25	oppr1 19791	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
27	22	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
28	26, 27	eqtr4id 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
29	24, 28	fveq12d 6763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
30	29	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
31	30	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
32	17, 31	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  opp_rcoppr 19776  LModclmod 20038  LFnlclfn 36998  LDualcld 37064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-lmod 20040  df-lfl 36999  df-ldual 37065

This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  37097  lcfrlem2  39484