Theorem ldualvsub 39897

Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsub.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ldualvsub.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldualvsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsub.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsub.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39895	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsub.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		ldualvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		ldualvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		ldualvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 21017	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
19		ldualvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
20	18, 19	opprneg 20432	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
21		ldualvsub.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
22	21, 18, 1, 12, 2	ldualsca 39874	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘𝑅))
23	22	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
24	20, 23	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
25		ldualvsub.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26	18, 25	oppr1 20431	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
27	22	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
28	26, 27	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
29	24, 28	fveq12d 6888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
30	29	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
31	30	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
32	17, 31	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  inv_gcminusg 19000  -_gcsg 19001  1_rcur 20262  opp_rcoppr 20417  LModclmod 20960  LFnlclfn 39799  LDualcld 39865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-lmod 20962  df-lfl 39800  df-ldual 39866

This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  39898  lcfrlem2  42285