Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsub 36410
Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n 𝑁 = (invg𝑅)
ldualvsub.u 1 = (1r𝑅)
ldualvsub.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p + = (+g𝐷)
ldualvsub.t · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsub.m = (-g𝐷)
ldualvsub.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsub.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsub (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsub.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 36408 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsub.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsub.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 36382 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsub.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 36382 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 ldualvsub.p . . . 4 + = (+g𝐷)
11 ldualvsub.m . . . 4 = (-g𝐷)
12 eqid 2822 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 ldualvsub.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2822 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2822 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 19680 . . 3 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18 ldualvsub.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
19 eqid 2822 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2018, 19, 1, 12, 2ldualsca 36387 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr𝑅))
2120fveq2d 6656 . . . . . 6 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr𝑅)))
22 ldualvsub.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
2319, 22opprneg 19379 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑅))
2421, 23syl6reqr 2876 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
2520fveq2d 6656 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr𝑅)))
26 ldualvsub.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
2719, 26oppr1 19378 . . . . . 6 1 = (1r‘(oppr𝑅))
2825, 27syl6reqr 2876 . . . . 5 (𝜑1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
2924, 28fveq12d 6659 . . . 4 (𝜑 → (𝑁1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
3029oveq1d 7155 . . 3 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
3130oveq2d 7156 . 2 (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
3217, 31eqtr4d 2860 1 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁1 ) · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  invgcminusg 18095  -gcsg 18096  1rcur 19242  opprcoppr 19366  LModclmod 19625  LFnlclfn 36312  LDualcld 36378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-lmod 19627  df-lfl 36313  df-ldual 36379
This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  36411  lcfrlem2  38798
  Copyright terms: Public domain W3C validator