Theorem ldualvsub 39612

Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsub.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ldualvsub.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldualvsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsub.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsub.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39610	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsub.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		ldualvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		ldualvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		ldualvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20901	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
19		ldualvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
20	18, 19	opprneg 20320	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
21		ldualvsub.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
22	21, 18, 1, 12, 2	ldualsca 39589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘𝑅))
23	22	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
24	20, 23	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
25		ldualvsub.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26	18, 25	oppr1 20319	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
27	22	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
28	26, 27	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
29	24, 28	fveq12d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
30	29	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
31	30	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
32	17, 31	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  1_rcur 20151  opp_rcoppr 20305  LModclmod 20844  LFnlclfn 39514  LDualcld 39580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-lmod 20846  df-lfl 39515  df-ldual 39581

This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  39613  lcfrlem2  42000