Theorem ldualvsub 37430

Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsub.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsub.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ldualvsub.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldualvsub.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsub.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsub.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsub.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsub.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsub.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsub	⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsub.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsub.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 37428	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsub.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsub.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 37402	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 37402	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		ldualvsub.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		ldualvsub.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		ldualvsub.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20284	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
19		ldualvsub.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
20	18, 19	opprneg 19972	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘(oppr‘𝑅))
21		ldualvsub.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
22	21, 18, 1, 12, 2	ldualsca 37407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (oppr‘𝑅))
23	22	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
24	20, 23	eqtr4id 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐷)))
25		ldualvsub.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
26	18, 25	oppr1 19971	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
27	22	fveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(oppr‘𝑅)))
28	26, 27	eqtr4id 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝐷)))
29	24, 28	fveq12d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))))
30	29	oveq1d 7352	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻) = (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻))
31	30	oveq2d 7353	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)) = (𝐺 + (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) · 𝐻)))
32	17, 31	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺 + ((𝑁‘ 1 ) · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059  Scalarcsca 17062   ·_𝑠 cvsca 17063  inv_gcminusg 18674  -_gcsg 18675  1_rcur 19832  opp_rcoppr 19956  LModclmod 20229  LFnlclfn 37332  LDualcld 37398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-lmod 20231  df-lfl 37333  df-ldual 37399

This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  37431  lcfrlem2  39819