Theorem oppreqg 33037

Description: Group coset equivalence relation for the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppreqg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppreqg	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem oppreqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	eqgfval 19099	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
6		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
8	6, 1	opprbas 20239	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
9	6, 2	opprneg 20249	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑂)
10	6, 3	oppradd 20241	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼)
12	8, 9, 10, 11	eqgfval 19099	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
13	7, 12	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
15	5, 14	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  {cpr 4630  {copab 5210  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  inv_gcminusg 18862   ~_QG cqg 19045  opp_rcoppr 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-minusg 18865  df-eqg 19048  df-oppr 20232

This theorem is referenced by:  opprqusbas  33042  opprqusplusg  33043  opprqusmulr  33045  qsdrngi  33049