Theorem oppreqg 33671

Description: Group coset equivalence relation for the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppreqg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppreqg	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem oppreqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	eqgfval 19217	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
6		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6	fvexi 6881	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
8	6, 1	opprbas 20392	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
9	6, 2	opprneg 20400	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑂)
10	6, 3	oppradd 20393	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼)
12	8, 9, 10, 11	eqgfval 19217	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
13	7, 12	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
14	13	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
15	5, 14	eqtr4d 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {cpr 4584  {copab 5162  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  inv_gcminusg 18976   ~_QG cqg 19164  opp_rcoppr 20385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-minusg 18979  df-eqg 19167  df-oppr 20386

This theorem is referenced by:  opprqusbas  33676  opprqusplusg  33677  opprqusmulr  33679  qsdrngi  33683