Theorem oppreqg 33440

Description: Group coset equivalence relation for the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppreqg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppreqg	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem oppreqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	eqgfval 19083	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
6		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
8	6, 1	opprbas 20256	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
9	6, 2	opprneg 20264	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑂)
10	6, 3	oppradd 20257	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼)
12	8, 9, 10, 11	eqgfval 19083	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
13	7, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
15	5, 14	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {cpr 4573  {copab 5148  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  inv_gcminusg 18842   ~_QG cqg 19030  opp_rcoppr 20249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-0g 17340  df-minusg 18845  df-eqg 19033  df-oppr 20250

This theorem is referenced by:  opprqusbas  33445  opprqusplusg  33446  opprqusmulr  33448  qsdrngi  33452