Theorem oppreqg 33461

Description: Group coset equivalence relation for the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppreqg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppreqg	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem oppreqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	eqgfval 19115	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
6		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
8	6, 1	opprbas 20259	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
9	6, 2	opprneg 20267	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑂)
10	6, 3	oppradd 20260	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼)
12	8, 9, 10, 11	eqgfval 19115	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
13	7, 12	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
15	5, 14	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {cpr 4594  {copab 5172  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  inv_gcminusg 18873   ~_QG cqg 19061  opp_rcoppr 20252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-minusg 18876  df-eqg 19064  df-oppr 20253

This theorem is referenced by:  opprqusbas  33466  opprqusplusg  33467  opprqusmulr  33469  qsdrngi  33473