Theorem oppreqg 33561

Description: Group coset equivalence relation for the opposite ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppreqg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppreqg	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem oppreqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppreqg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
5	1, 2, 3, 4	eqgfval 19145	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
6		oppreqg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6	fvexi 6849	. . . 4 ⊢ 𝑂 ∈ V
8	6, 1	opprbas 20317	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
9	6, 2	opprneg 20325	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑂)
10	6, 3	oppradd 20318	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼)
12	8, 9, 10, 11	eqgfval 19145	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
13	7, 12	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑂 ~QG 𝐼) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑥)(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)})
15	5, 14	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑂 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  {copab 5148  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  inv_gcminusg 18904   ~_QG cqg 19092  opp_rcoppr 20310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-minusg 18907  df-eqg 19095  df-oppr 20311

This theorem is referenced by:  opprqusbas  33566  opprqusplusg  33567  opprqusmulr  33569  qsdrngi  33573