Theorem oppr1 20580

Description: Multiplicative identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppr1	⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Proof of Theorem oppr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	1, 2, 3, 4	opprmul 20570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12ci 641	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
10	9	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
11	10	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
12	11	iotabii 6523	. . 3 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑂) = (mulGrp‘𝑂)
14	3, 1	opprbas 20573	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	13, 14	mgpbas 20365	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑂))
16	13, 4	mgpplusg 20364	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (+g‘(mulGrp‘𝑂))
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
18	15, 16, 17	grpidval 18840	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
20	19, 1	mgpbas 20365	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
21	19, 2	mgpplusg 20364	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 21, 22	grpidval 18840	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
24	12, 18, 23	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
26	13, 25	ringidval 20409	. 2 ⊢ (1r‘𝑂) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
27		oppr1.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28	19, 27	ringidval 20409	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	24, 26, 28	3eqtr4ri 2794	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ℩cio 6492  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  opp_rcoppr 20566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-oppr 20567

This theorem is used by:  opprunit  20607  rhmopp  20759  opprnzrb  20772  opprsubrg  20845  isdrngrd  21023  isdrngrdOLD  21025  fidomndrng  21031  srng1  21110  issrngd  21112  opprqusdrng  34059  qsdrngi  34061  ldual1  40248  lduallmodlem  40252  ldualvsub  40255  lcd1  42709  lcdvsub  42717