Theorem oppr1 19448

Description: Multiplicative identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppr1	⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Proof of Theorem oppr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	opprmul 19440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	1, 2, 3, 4	opprmul 19440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12ci 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
10	9	ralbii 3098	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
11	10	anbi2i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
12	11	iotabii 6321	. . 3 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
13		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑂) = (mulGrp‘𝑂)
14	3, 1	opprbas 19443	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	13, 14	mgpbas 19306	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑂))
16	13, 4	mgpplusg 19304	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (+g‘(mulGrp‘𝑂))
17		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
18	15, 16, 17	grpidval 17930	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
20	19, 1	mgpbas 19306	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
21	19, 2	mgpplusg 19304	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 21, 22	grpidval 17930	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
24	12, 18, 23	3eqtr4i 2792	. 2 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25		eqid 2759	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
26	13, 25	ringidval 19314	. 2 ⊢ (1r‘𝑂) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
27		oppr1.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28	19, 27	ringidval 19314	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	24, 26, 28	3eqtr4ri 2793	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ℩cio 6293  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  ._rcmulr 16617  0_gc0g 16764  mulGrpcmgp 19300  1_rcur 19312  opp_rcoppr 19436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-0g 16766  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-oppr 19437

This theorem is referenced by:  opprunit  19475  isdrngrd  19589  opprsubrg  19617  srng1  19691  issrngd  19693  fidomndrng  20141  rhmopp  31037  ldual1  36717  lduallmodlem  36721  ldualvsub  36724  lcd1  39178  lcdvsub  39186