Theorem oppr1 20259

Description: Multiplicative identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppr1	⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Proof of Theorem oppr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	1, 2, 3, 4	opprmul 20249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12ci 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
10	9	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
11	10	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
12	11	iotabii 6496	. . 3 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑂) = (mulGrp‘𝑂)
14	3, 1	opprbas 20252	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	13, 14	mgpbas 20054	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑂))
16	13, 4	mgpplusg 20053	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (+g‘(mulGrp‘𝑂))
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
18	15, 16, 17	grpidval 18588	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
20	19, 1	mgpbas 20054	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
21	19, 2	mgpplusg 20053	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 21, 22	grpidval 18588	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
24	12, 18, 23	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
26	13, 25	ringidval 20092	. 2 ⊢ (1r‘𝑂) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
27		oppr1.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28	19, 27	ringidval 20092	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	24, 26, 28	3eqtr4ri 2763	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ℩cio 6462  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  opp_rcoppr 20245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-oppr 20246

This theorem is referenced by:  opprunit  20286  rhmopp  20418  opprnzrb  20430  opprsubrg  20502  isdrngrd  20675  isdrngrdOLD  20677  fidomndrng  20682  srng1  20762  issrngd  20764  opprqusdrng  33464  qsdrngi  33466  ldual1  39141  lduallmodlem  39145  ldualvsub  39148  lcd1  41603  lcdvsub  41611