MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppr1 19313
Description: Multiplicative identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
oppr1.2 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
oppr1 1 = (1r𝑂)

Proof of Theorem oppr1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 opprbas.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppr𝑅)
4 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑂) = (.r𝑂)
51, 2, 3, 4opprmul 19305 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
65eqeq1i 2823 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)
71, 2, 3, 4opprmul 19305 . . . . . . . 8 (𝑦(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑦)
87eqeq1i 2823 . . . . . . 7 ((𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
96, 8anbi12ci 627 . . . . . 6 (((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
109ralbii 3162 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
1110anbi2i 622 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
1211iotabii 6333 . . 3 (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
13 eqid 2818 . . . . 5 (mulGrp‘𝑂) = (mulGrp‘𝑂)
143, 1opprbas 19308 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
1513, 14mgpbas 19174 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑂))
1613, 4mgpplusg 19172 . . . 4 (.r𝑂) = (+g‘(mulGrp‘𝑂))
17 eqid 2818 . . . 4 (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
1815, 16, 17grpidval 17859 . . 3 (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑂)𝑥) = 𝑦)))
19 eqid 2818 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2019, 1mgpbas 19174 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2119, 2mgpplusg 19172 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22 eqid 2818 . . . 4 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2320, 21, 22grpidval 17859 . . 3 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
2412, 18, 233eqtr4i 2851 . 2 (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2818 . . 3 (1r𝑂) = (1r𝑂)
2613, 25ringidval 19182 . 2 (1r𝑂) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
27 oppr1.2 . . 3 1 = (1r𝑅)
2819, 27ringidval 19182 . 2 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2924, 26, 283eqtr4ri 2852 1 1 = (1r𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cio 6305  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  opprcoppr 19301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-oppr 19302
This theorem is referenced by:  opprunit  19340  isdrngrd  19457  opprsubrg  19485  srng1  19559  issrngd  19561  fidomndrng  20008  rhmopp  30819  ldual1  36164  lduallmodlem  36168  ldualvsub  36171  lcd1  38625  lcdvsub  38633
  Copyright terms: Public domain W3C validator