Theorem oppr1 19876

Description: Multiplicative identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppr1	⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Proof of Theorem oppr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
5	1, 2, 3, 4	opprmul 19865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
6	5	eqeq1i 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
7	1, 2, 3, 4	opprmul 19865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
8	7	eqeq1i 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
9	6, 8	anbi12ci 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
10	9	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
11	10	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
12	11	iotabii 6418	. . 3 ⊢ (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦))) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑂) = (mulGrp‘𝑂)
14	3, 1	opprbas 19869	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	13, 14	mgpbas 19726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑂))
16	13, 4	mgpplusg 19724	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (+g‘(mulGrp‘𝑂))
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
18	15, 16, 17	grpidval 18345	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
20	19, 1	mgpbas 19726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
21	19, 2	mgpplusg 19724	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 21, 22	grpidval 18345	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑥(𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
24	12, 18, 23	3eqtr4i 2776	. 2 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑂)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
25		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
26	13, 25	ringidval 19739	. 2 ⊢ (1r‘𝑂) = (0g‘(mulGrp‘𝑂))
27		oppr1.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28	19, 27	ringidval 19739	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
29	24, 26, 28	3eqtr4ri 2777	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ℩cio 6389  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  opp_rcoppr 19861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-oppr 19862

This theorem is referenced by:  opprunit  19903  isdrngrd  20017  opprsubrg  20045  srng1  20119  issrngd  20121  fidomndrng  20579  rhmopp  31518  ldual1  37162  lduallmodlem  37166  ldualvsub  37169  lcd1  39623  lcdvsub  39631