Theorem lcdneg 39618

Description: The unit scalar of the closed kernel dual of a vector space. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdneg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdneg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdneg.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
lcdneg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdneg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
lcdneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
lcdneg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdneg	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑀)

Proof of Theorem lcdneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdneg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdneg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdneg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		lcdneg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdneg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐶)
7		lcdneg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lcdsca 39607	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
9	8	fveq2d 6773	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑆) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
10		lcdneg.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
11		lcdneg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
12	4, 11	opprneg 19873	. 2 ⊢ 𝑀 = (invg‘(oppr‘𝑅))
13	9, 10, 12	3eqtr4g 2805	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6431  Scalarcsca 16961  inv_gcminusg 18574  opp_rcoppr 19857  HLchlt 37358  LHypclh 37992  DVecHcdvh 39086  LCDualclcd 39594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-riotaBAD 36961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-0g 17148  df-proset 18009  df-poset 18027  df-plt 18044  df-lub 18060  df-glb 18061  df-join 18062  df-meet 18063  df-p0 18139  df-p1 18140  df-lat 18146  df-clat 18213  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-dvr 19921  df-drng 19989  df-lmod 20121  df-lvec 20361  df-ldual 37132  df-oposet 37184  df-ol 37186  df-oml 37187  df-covers 37274  df-ats 37275  df-atl 37306  df-cvlat 37330  df-hlat 37359  df-llines 37506  df-lplanes 37507  df-lvols 37508  df-lines 37509  df-psubsp 37511  df-pmap 37512  df-padd 37804  df-lhyp 37996  df-laut 37997  df-ldil 38112  df-ltrn 38113  df-trl 38167  df-tendo 38763  df-edring 38765  df-dvech 39087  df-lcdual 39595

This theorem is referenced by:  lcdvsubval  39626