Theorem ldualneg 37717

Description: The negative of a scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualneg.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
ldualneg.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualneg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldualneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
ldualneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldualneg	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑀)

Proof of Theorem ldualneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualneg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		ldualneg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldualneg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5		ldualneg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 37700	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
7	6	fveq2d 6866	. 2 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑆) = (invg‘(oppr‘𝑅)))
8		ldualneg.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
9		ldualneg.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
10	2, 9	opprneg 20093	. 2 ⊢ 𝑀 = (invg‘(oppr‘𝑅))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6516  Scalarcsca 17165  inv_gcminusg 18778  opp_rcoppr 20077  LModclmod 20393  LDualcld 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-minusg 18781  df-oppr 20078  df-ldual 37692

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  37725