Theorem opprsubg 20403

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubg	⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20394	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5	1, 4	oppradd 20395	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
6	3, 5	grpprop 18996	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7		biid 263	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑥) = (𝑅 ↾s 𝑥)
9	8, 2	ressbas 17274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
10	9	elv 3461	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥))
11		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ↾s 𝑥) = (𝑂 ↾s 𝑥)
12	11, 3	ressbas 17274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
13	12	elv 3461	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
14	10, 13	eqtr3i 2789	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
15	8, 4	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
16	11, 5	ressplusg 17322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
17	15, 16	eqtr3d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
18	17	elv 3461	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥))
19	14, 18	grpprop 18996	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp)
20	6, 7, 19	3anbi123i 1169	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
21	2	issubg 19170	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
22	3	issubg 19170	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
23	20, 21, 22	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
24	23	eqriv 2761	1 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  +_gcplusg 17288  Grpcgrp 18977  SubGrpcsubg 19164  opp_rcoppr 20387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-subg 19167  df-oppr 20388

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20611  opprsubrg  20645  isridlrng  21291  isridl  21324  opprnsg  33674