Theorem opprsubg 20270

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubg	⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20261	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5	1, 4	oppradd 20262	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
6	3, 5	grpprop 18865	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7		biid 261	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑥) = (𝑅 ↾s 𝑥)
9	8, 2	ressbas 17147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
10	9	elv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥))
11		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ↾s 𝑥) = (𝑂 ↾s 𝑥)
12	11, 3	ressbas 17147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
13	12	elv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
14	10, 13	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
15	8, 4	ressplusg 17195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
16	11, 5	ressplusg 17195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
17	15, 16	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
18	17	elv 3441	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥))
19	14, 18	grpprop 18865	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp)
20	6, 7, 19	3anbi123i 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
21	2	issubg 19039	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
22	3	issubg 19039	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
23	20, 21, 22	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
24	23	eqriv 2728	1 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18846  SubGrpcsubg 19033  opp_rcoppr 20254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-subg 19036  df-oppr 20255

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20474  opprsubrg  20508  isridlrng  21156  isridl  21189  opprnsg  33449