MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubg 20369
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubg (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 20358 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
51, 4oppradd 20360 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
63, 5grpprop 18983 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7 biid 261 . . . 4 (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑅s 𝑥) = (𝑅s 𝑥)
98, 2ressbas 17280 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥)))
109elv 3483 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥))
11 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑂s 𝑥) = (𝑂s 𝑥)
1211, 3ressbas 17280 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥)))
1312elv 3483 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
1410, 13eqtr3i 2765 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝑥)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
158, 4ressplusg 17336 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑅s 𝑥)))
1611, 5ressplusg 17336 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1715, 16eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1817elv 3483 . . . . 5 (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥))
1914, 18grpprop 18983 . . . 4 ((𝑅s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp)
206, 7, 193anbi123i 1154 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
212issubg 19157 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp))
223issubg 19157 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
2320, 21, 223bitr4i 303 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2423eqriv 2732 1 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  opprcoppr 20350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-oppr 20351
This theorem is referenced by:  opprsubrng  20576  opprsubrg  20610  isridlrng  21247  isridl  21280  opprnsg  33492
  Copyright terms: Public domain W3C validator