Theorem opprsubg 20378

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubg	⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20367	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5	1, 4	oppradd 20369	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
6	3, 5	grpprop 18992	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7		biid 261	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑥) = (𝑅 ↾s 𝑥)
9	8, 2	ressbas 17293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
10	9	elv 3493	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥))
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ↾s 𝑥) = (𝑂 ↾s 𝑥)
12	11, 3	ressbas 17293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
13	12	elv 3493	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
14	10, 13	eqtr3i 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
15	8, 4	ressplusg 17349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
16	11, 5	ressplusg 17349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
17	15, 16	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
18	17	elv 3493	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥))
19	14, 18	grpprop 18992	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp)
20	6, 7, 19	3anbi123i 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
21	2	issubg 19166	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
22	3	issubg 19166	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
23	20, 21, 22	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
24	23	eqriv 2737	1 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  opp_rcoppr 20359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-subg 19163  df-oppr 20360

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20585  opprsubrg  20621  isridlrng  21252  isridl  21285  opprnsg  33477