MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubg 20073
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubg (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 20064 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
51, 4oppradd 20066 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
63, 5grpprop 18774 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7 biid 261 . . . 4 (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑅s 𝑥) = (𝑅s 𝑥)
98, 2ressbas 17126 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥)))
109elv 3453 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑂s 𝑥) = (𝑂s 𝑥)
1211, 3ressbas 17126 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥)))
1312elv 3453 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
1410, 13eqtr3i 2763 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝑥)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
158, 4ressplusg 17179 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑅s 𝑥)))
1611, 5ressplusg 17179 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1715, 16eqtr3d 2775 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1817elv 3453 . . . . 5 (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥))
1914, 18grpprop 18774 . . . 4 ((𝑅s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp)
206, 7, 193anbi123i 1156 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
212issubg 18936 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp))
223issubg 18936 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
2320, 21, 223bitr4i 303 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2423eqriv 2730 1 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cin 3913  wss 3914  cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  s cress 17120  +gcplusg 17141  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  opprcoppr 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-subg 18933  df-oppr 20057
This theorem is referenced by:  opprsubrg  20285
  Copyright terms: Public domain W3C validator