Theorem opprsubg 20292

Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubg	⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20283	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5	1, 4	oppradd 20284	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
6	3, 5	grpprop 18886	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7		biid 261	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑥) = (𝑅 ↾s 𝑥)
9	8, 2	ressbas 17167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
10	9	elv 3446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥))
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ↾s 𝑥) = (𝑂 ↾s 𝑥)
12	11, 3	ressbas 17167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
13	12	elv 3446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
14	10, 13	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (Base‘(𝑂 ↾s 𝑥))
15	8, 4	ressplusg 17215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)))
16	11, 5	ressplusg 17215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
17	15, 16	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥)))
18	17	elv 3446	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑥)) = (+g‘(𝑂 ↾s 𝑥))
19	14, 18	grpprop 18886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp)
20	6, 7, 19	3anbi123i 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
21	2	issubg 19060	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
22	3	issubg 19060	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂 ↾s 𝑥) ∈ Grp))
23	20, 21, 22	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
24	23	eqriv 2734	1 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  +_gcplusg 17181  Grpcgrp 18867  SubGrpcsubg 19054  opp_rcoppr 20276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-subg 19057  df-oppr 20277

This theorem is referenced by:  opprsubrng  20496  opprsubrg  20530  isridlrng  21178  isridl  21211  opprnsg  33567