MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubg 19315
Description: Being a subgroup is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubg (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 19308 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
51, 4oppradd 19309 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
63, 5grpprop 18057 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
7 biid 262 . . . 4 (𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅))
8 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑅s 𝑥) = (𝑅s 𝑥)
98, 2ressbas 16542 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥)))
109elv 3497 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑅s 𝑥))
11 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑂s 𝑥) = (𝑂s 𝑥)
1211, 3ressbas 16542 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥)))
1312elv 3497 . . . . . 6 (𝑥 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
1410, 13eqtr3i 2843 . . . . 5 (Base‘(𝑅s 𝑥)) = (Base‘(𝑂s 𝑥))
158, 4ressplusg 16600 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑅s 𝑥)))
1611, 5ressplusg 16600 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (+g𝑅) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1715, 16eqtr3d 2855 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥)))
1817elv 3497 . . . . 5 (+g‘(𝑅s 𝑥)) = (+g‘(𝑂s 𝑥))
1914, 18grpprop 18057 . . . 4 ((𝑅s 𝑥) ∈ Grp ↔ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp)
206, 7, 193anbi123i 1147 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
212issubg 18217 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑥) ∈ Grp))
223issubg 18217 . . 3 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑂s 𝑥) ∈ Grp))
2320, 21, 223bitr4i 304 . 2 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂))
2423eqriv 2815 1 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  opprcoppr 19301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-subg 18214  df-oppr 19302
This theorem is referenced by:  opprsubrg  19485
  Copyright terms: Public domain W3C validator