MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsr1 20363
Description: One in the ordered power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsr0.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsr0.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsr0.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsr1 (𝜑 → (1r𝑆) = (1r𝑂))

Proof of Theorem opsr1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2821 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 opsr0.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 opsr0.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
4 opsr0.t . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
52, 3, 4opsrbas 20235 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))
62, 3, 4opsrmulr 20237 . . 3 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑂))
76oveqdr 7161 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
81, 5, 7rngidpropd 19424 1 (𝜑 → (1r𝑆) = (1r𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913   × cxp 5529  cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  .rcmulr 16545  1rcur 19230   mPwSer cmps 20107   ordPwSer copws 20111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-dec 12078  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-ple 16564  df-0g 16694  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-psr 20112  df-opsr 20116
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator