Theorem opsrbas 21280

Description: The base set of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrbas	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbas.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrbas.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		opsrbas.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
4		baseid 16943	. 2 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		plendxnbasendx 17108	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6	5	necomi 2993	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
7	1, 2, 3, 4, 6	opsrbaslem 21278	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ⊆ wss 3889   × cxp 5589  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  ndxcnx 16922  Basecbs 16940  lecple 16997   mPwSer cmps 21135   ordPwSer copws 21139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-dec 12466  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ple 17010  df-psr 21140  df-opsr 21144

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  21291  opsrcrng  21294  opsrassa  21295  psr1bas2  21389  vr1cl2  21392  ply1lss  21395  ply1subrg  21396  opsr0  21417  opsr1  21418  opsrring  21444  opsrlmod  21445