Theorem opsrsca 22031

Description: The scalar ring of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
opsrsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

Proof of Theorem opsrsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbas.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	psrsca 21923	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5		opsrbas.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
6		opsrbas.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
7		scaid 17270	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
8		plendxnscandx 17328	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	8	necomi 2988	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (le‘ndx)
10	1, 5, 6, 7, 9	opsrbaslem 22026	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑂))
11	4, 10	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ndxcnx 17155  Scalarcsca 17215  lecple 17219   mPwSer cmps 21880   ordPwSer copws 21884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-tset 17231  df-ple 17232  df-psr 21885  df-opsr 21889

This theorem is referenced by:  opsrassa  22037  ply1lss  22182  opsrlmod  22231  psr1sca  22235