MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrsca 21444
Description: The scalar ring of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrsca.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrsca.r (𝜑𝑅𝑊)
Assertion
Ref Expression
opsrsca (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑂))

Proof of Theorem opsrsca
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrsca.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrsca.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
41, 2, 3psrsca 21342 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5 opsrbas.o . . 3 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
6 opsrbas.t . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
7 scaid 17188 . . 3 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
8 plendxnscandx 17246 . . . 4 (le‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
98necomi 2996 . . 3 (Scalar‘ndx) ≠ (le‘ndx)
101, 5, 6, 7, 9opsrbaslem 21434 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑂))
114, 10eqtrd 2776 1 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   × cxp 5629  cfv 6493  (class class class)co 7353  ndxcnx 17057  Scalarcsca 17128  lecple 17132   mPwSer cmps 21291   ordPwSer copws 21295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-tset 17144  df-ple 17145  df-psr 21296  df-opsr 21300
This theorem is referenced by:  opsrassa  21451  ply1lss  21551  opsrlmod  21601  psr1sca  21605
  Copyright terms: Public domain W3C validator