Theorem opsrsca 22260

Description: The scalar ring of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
opsrsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

Proof of Theorem opsrsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbas.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	psrsca 22152	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5		opsrbas.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
6		opsrbas.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
7		scaid 17395	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
8		plendxnscandx 17453	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	8	necomi 3014	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (le‘ndx)
10	1, 5, 6, 7, 9	opsrbaslem 22255	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑂))
11	4, 10	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ndxcnx 17280  Scalarcsca 17340  lecple 17344   mPwSer cmps 22109   ordPwSer copws 22113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-tset 17356  df-ple 17357  df-psr 22114  df-opsr 22118

This theorem is used by:  opsrassa  22266  ply1lss  22411  opsrlmod  22460  psr1sca  22464