Theorem opsrsca 22214

Description: The scalar ring of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
opsrsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

Proof of Theorem opsrsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbas.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	psrsca 22106	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
5		opsrbas.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
6		opsrbas.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
7		scaid 17372	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
8		plendxnscandx 17430	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	8	necomi 3012	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (le‘ndx)
10	1, 5, 6, 7, 9	opsrbaslem 22209	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑂))
11	4, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ndxcnx 17257  Scalarcsca 17317  lecple 17321   mPwSer cmps 22063   ordPwSer copws 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-tset 17333  df-ple 17334  df-psr 22068  df-opsr 22072

This theorem is used by:  opsrassa  22220  ply1lss  22365  opsrlmod  22414  psr1sca  22418