MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrassa 20264
Description: The ring of ordered power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrcrng.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrcrng.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrcrng.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
opsrcrng.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrassa (𝜑𝑂 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem opsrassa
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrcrng.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrcrng.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 20189 . 2 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrcrng.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7 opsrcrng.t . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 20254 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
91, 6, 7opsrplusg 20255 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑂))
109oveqdr 7174 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
111, 6, 7opsrmulr 20256 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑂))
1211oveqdr 7174 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
131, 2, 3psrsca 20164 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
141, 6, 7, 2, 3opsrsca 20258 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑂))
15 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 6, 7opsrvsca 20257 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑂))
1716oveqdr 7174 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑂)𝑦))
185, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17assapropd 20096 . 2 (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ↔ 𝑂 ∈ AssAlg))
194, 18mpbid 235 1 (𝜑𝑂 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919   × cxp 5541  cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  +gcplusg 16563  .rcmulr 16564   ·𝑠 cvsca 16567  CRingccrg 19296  AssAlgcasa 20077   mPwSer cmps 20126   ordPwSer copws 20130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-hash 13694  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-tset 16582  df-ple 16583  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-mulg 18223  df-ghm 18354  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-lmod 19631  df-assa 20080  df-psr 20131  df-opsr 20135
This theorem is referenced by:  psr1assa  20351
  Copyright terms: Public domain W3C validator