MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrassa 21389
Description: The ring of ordered power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrcrng.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrcrng.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrcrng.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
opsrcrng.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrassa (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem opsrassa
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrcrng.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 opsrcrng.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21305 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 eqidd 2738 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrcrng.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
7 opsrcrng.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 21374 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜π‘‚))
91, 6, 7opsrplusg 21376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘‚))
109oveqdr 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
111, 6, 7opsrmulr 21378 . . . 4 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.rβ€˜π‘‚))
1211oveqdr 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘‚)𝑦))
131, 2, 3psrsca 21280 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
141, 6, 7, 2, 3opsrsca 21382 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‚))
15 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
161, 6, 7opsrvsca 21380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜π‘‚))
1716oveqdr 7377 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‚)𝑦))
185, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17assapropd 21198 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ↔ 𝑂 ∈ AssAlg))
194, 18mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3908   Γ— cxp 5628  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  +gcplusg 17067  .rcmulr 17068   ·𝑠 cvsca 17071  CRingccrg 19889  AssAlgcasa 21179   mPwSer cmps 21229   ordPwSer copws 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-hash 14158  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-tset 17086  df-ple 17087  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-mulg 18806  df-ghm 18938  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-lmod 20247  df-assa 21182  df-psr 21234  df-opsr 21238
This theorem is referenced by:  psr1assa  21481
  Copyright terms: Public domain W3C validator