MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrassa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrassa 19811
Description: The ring of ordered power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrcrng.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrcrng.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrcrng.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
opsrcrng.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrassa (𝜑𝑂 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem opsrassa
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2799 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrcrng.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrcrng.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 19737 . 2 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
5 eqidd 2800 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrcrng.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7 opsrcrng.t . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 19801 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
91, 6, 7opsrplusg 19802 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑂))
109oveqdr 6906 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
111, 6, 7opsrmulr 19803 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑂))
1211oveqdr 6906 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
131, 2, 3psrsca 19712 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
141, 6, 7, 2, 3opsrsca 19805 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑂))
15 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 6, 7opsrvsca 19804 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑂))
1716oveqdr 6906 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑂)𝑦))
185, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17assapropd 19650 . 2 (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ↔ 𝑂 ∈ AssAlg))
194, 18mpbid 224 1 (𝜑𝑂 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769   × cxp 5310  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268   ·𝑠 cvsca 16271  CRingccrg 18864  AssAlgcasa 19632   mPwSer cmps 19674   ordPwSer copws 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-lmod 19183  df-assa 19635  df-psr 19679  df-opsr 19683
This theorem is referenced by:  psr1assa  19880
  Copyright terms: Public domain W3C validator