MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pc0 15772
Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc0 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)

Proof of Theorem pc0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 𝑝 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11650 . . 3 0 ∈ ℤ
2 zq 12009 . . 3 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . 2 0 ∈ ℚ
4 iftrue 4282 . . . 4 (𝑟 = 0 → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
54adantl 469 . . 3 ((𝑝 = 𝑃𝑟 = 0) → if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))) = +∞)
6 df-pc 15755 . . 3 pCnt = (𝑝 ∈ ℙ, 𝑟 ∈ ℚ ↦ if(𝑟 = 0, +∞, (℩𝑧𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑟 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑧 = (sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥}, ℝ, < ) − sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦}, ℝ, < ))))))
7 pnfex 10375 . . 3 +∞ ∈ V
85, 6, 7ovmpt2a 7018 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
93, 8mpan2 674 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wrex 3096  {crab 3099  ifcif 4276   class class class wbr 4840  cio 6059  (class class class)co 6871  supcsup 8582  cr 10217  0cc0 10218  +∞cpnf 10353   < clt 10356  cmin 10548   / cdiv 10966  cn 11302  0cn0 11555  cz 11639  cq 12003  cexp 13079  cdvds 15199  cprime 15599   pCnt cpc 15754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-z 11640  df-q 12004  df-pc 15755
This theorem is referenced by:  pcxcl  15778  pcge0  15779  pcdvdsb  15786  pcgcd1  15794  pc2dvds  15796  pcaddlem  15805  pcadd  15806
  Copyright terms: Public domain W3C validator