Theorem pcxcl 16863

Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcxcl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem pcxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pc0 16856	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
2		pnfxr 11318	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	eqeltrdi 2834	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5		oveq2 7432	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 0))
6	5	eleq1d 2811	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ* ↔ (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*))
7	4, 6	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
8		pcqcl 16858	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	zred 12718	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11314	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)
11	10	expr 455	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*))
12	7, 11	pm2.61dne 3018	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297  ℚcq 12984  ℙcprime 16672   pCnt cpc 16838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-pc 16839

This theorem is referenced by:  pcdvdstr  16878  pcgcd1  16879  pcgcd  16880  pc2dvds  16881  pc11  16882  pcadd  16891  pcadd2  16892