Theorem pc1 16789

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Proof of Theorem pc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12590	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ax-1ne0 11176	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		eqid 2724	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
4	3	pczpre 16781	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
5	1, 2, 4	mpanr12 702	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
6		prmuz2 16632	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eqid 2724	. . 3 ⊢ 1 = 1
8		eqid 2724	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
9	8, 3	pcpre1 16776	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
10	6, 7, 9	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
11	5, 10	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  {crab 3424   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  supcsup 9432  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11246  2c2 12265  ℕ₀cn0 12470  ℤcz 12556  ℤ_≥cuz 12820  ↑cexp 14025   ∥ cdvds 16196  ℙcprime 16607   pCnt cpc 16770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16771

This theorem is referenced by:  pcrec  16792  pcexp  16793  pcid  16807  pcmpt  16826  pcfac  16833  sylow1lem1  19510  mumullem2  27031