Theorem pc1 16949

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Proof of Theorem pc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ax-1ne0 11194	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
4	3	pczpre 16941	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
5	1, 2, 4	mpanr12 718	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
6		prmuz2 16788	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ 1 = 1
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
9	8, 3	pcpre1 16936	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
10	6, 7, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
11	5, 10	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  supcsup 9413  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   < clt 11268  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ↑cexp 14125   ∥ cdvds 16344  ℙcprime 16763   pCnt cpc 16930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16345  df-gcd 16587  df-prm 16764  df-pc 16931

This theorem is used by:  pcrec  16952  pcexp  16953  pcid  16967  pcmpt  16986  pcfac  16993  sylow1lem1  19724  mumullem2  27412