Theorem pc1 16980

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Proof of Theorem pc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12681	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ax-1ne0 11226	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
4	3	pczpre 16972	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
5	1, 2, 4	mpanr12 718	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
6		prmuz2 16819	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ 1 = 1
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
9	8, 3	pcpre1 16967	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
10	6, 7, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
11	5, 10	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  supcsup 9410  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   < clt 11300  2c2 12352  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ↑cexp 14158   ∥ cdvds 16375  ℙcprime 16794   pCnt cpc 16961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-prm 16795  df-pc 16962

This theorem is used by:  pcrec  16983  pcexp  16984  pcid  16998  pcmpt  17017  pcfac  17024  sylow1lem1  19759  mumullem2  27456