Theorem pc1 16821

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Proof of Theorem pc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12552	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ax-1ne0 11102	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
4	3	pczpre 16813	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
5	1, 2, 4	mpanr12 712	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
6		prmuz2 16660	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eqid 2741	. . 3 ⊢ 1 = 1
8		eqid 2741	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
9	8, 3	pcpre1 16808	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
10	6, 7, 9	sylancl 593	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
11	5, 10	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  {crab 3393   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  supcsup 9347  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   < clt 11174  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ↑cexp 14018   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-pc 16803

This theorem is referenced by:  pcrec  16824  pcexp  16825  pcid  16839  pcmpt  16858  pcfac  16865  sylow1lem1  19568  mumullem2  27165