Theorem pc1 16817

Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pc1	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Proof of Theorem pc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12616	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ax-1ne0 11201	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < )
4	3	pczpre 16809	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
5	1, 2, 4	mpanr12 704	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ))
6		prmuz2 16660	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
7		eqid 2727	. . 3 ⊢ 1 = 1
8		eqid 2727	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}
9	8, 3	pcpre1 16804	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 = 1) → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
10	6, 7, 9	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 1}, ℝ, < ) = 0)
11	5, 10	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  {crab 3427   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  supcsup 9457  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   < clt 11272  2c2 12291  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ↑cexp 14052   ∥ cdvds 16224  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799

This theorem is referenced by:  pcrec  16820  pcexp  16821  pcid  16835  pcmpt  16854  pcfac  16861  sylow1lem1  19546  mumullem2  27105