MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqmul 16822
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcqmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1197 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 elq 12965 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
31, 2sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
4 simp3l 1199 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 elq 12965 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
64, 5sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
7 reeanv 3223 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
8 reeanv 3223 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
9 simp2r 1198 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
10 simp3r 1200 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10jca 511 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1614nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
1715, 16div0d 12020 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
18 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
1918eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
2017, 19syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
2120necon3d 2958 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12259 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
2422nnne0d 12293 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
2523, 24div0d 12020 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ค) = 0)
26 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = (0 / ๐‘ค))
2726eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) = 0 โ†” (0 / ๐‘ค) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = 0))
2928necon3d 2958 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0 โ†’ ๐‘ง โ‰  0))
30 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
32 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12703 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
3431zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3532zcnd 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
36 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
37 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
3834, 35, 36, 37mulne0d 11897 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0)
3914adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4022adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
4139, 40nnmulcld 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
42 pcdiv 16821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
44 pcmul 16820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4639nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4716adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4840nnzd 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4924adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
50 pcmul 16820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5245, 51oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
53 pczcl 16817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5430, 31, 36, 53syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5554nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
56 pczcl 16817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5730, 32, 37, 56syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5857nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
5930, 39pccld 16819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6130, 40pccld 16819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
6261nn0cnd 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
6355, 58, 60, 62addsub4d 11649 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6443, 52, 633eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6515adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6623adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 12062 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
6867oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
69 pcdiv 16821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
71 pcdiv 16821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7370, 72oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
7464, 68, 733eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
7574expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
7621, 29, 75syl2and 607 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
77 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
78 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†” (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0))
7977, 78bi2anan9 637 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0)))
80 oveq12 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)))
8180oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))))
82 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
83 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))
8482, 83oveqan12d 7439 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
8581, 84eqeq12d 2744 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
8679, 85imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))) โ†” (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))))
8776, 86syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8813, 87sylanl1 679 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8912, 88mpid 44 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9089rexlimdvva 3208 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
918, 90biimtrrid 242 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9291rexlimdvva 3208 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
937, 92biimtrrid 242 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
943, 6, 93mp2and 698 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  โ„•cn 12243  โ„•0cn0 12503  โ„คcz 12589  โ„šcq 12963  โ„™cprime 16642   pCnt cpc 16805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806
This theorem is referenced by:  pcqdiv  16826  pcexp  16828  pcaddlem  16857  sylow1lem1  19553  padicabv  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator