MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqmul 16793
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcqmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1196 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 elq 12935 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
31, 2sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
4 simp3l 1198 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 elq 12935 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
64, 5sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
7 reeanv 3220 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
8 reeanv 3220 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
9 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
10 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10jca 511 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
1211ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1614nnne0d 12263 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
1715, 16div0d 11990 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
18 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
1918eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
2017, 19syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
2120necon3d 2955 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
22 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
2422nnne0d 12263 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
2523, 24div0d 11990 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ค) = 0)
26 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = (0 / ๐‘ค))
2726eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) = 0 โ†” (0 / ๐‘ค) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = 0))
2928necon3d 2955 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0 โ†’ ๐‘ง โ‰  0))
30 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
32 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
3431zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3532zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
36 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
37 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
3834, 35, 36, 37mulne0d 11867 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0)
3914adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4022adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
4139, 40nnmulcld 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
42 pcdiv 16792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
44 pcmul 16791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4639nnzd 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4716adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4840nnzd 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4924adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
50 pcmul 16791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5245, 51oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
53 pczcl 16788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5430, 31, 36, 53syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5554nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
56 pczcl 16788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5730, 32, 37, 56syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5857nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
5930, 39pccld 16790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6130, 40pccld 16790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
6261nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
6355, 58, 60, 62addsub4d 11619 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6443, 52, 633eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6515adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6623adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 12032 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
6867oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
69 pcdiv 16792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
71 pcdiv 16792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7370, 72oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
7464, 68, 733eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
7574expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
7621, 29, 75syl2and 607 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
77 neeq1 2997 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
78 neeq1 2997 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†” (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0))
7977, 78bi2anan9 636 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0)))
80 oveq12 7413 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)))
8180oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))))
82 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
83 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))
8482, 83oveqan12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
8581, 84eqeq12d 2742 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
8679, 85imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))) โ†” (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))))
8776, 86syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8813, 87sylanl1 677 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8912, 88mpid 44 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9089rexlimdvva 3205 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
918, 90biimtrrid 242 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9291rexlimdvva 3205 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
937, 92biimtrrid 242 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
943, 6, 93mp2and 696 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„šcq 12933  โ„™cprime 16613   pCnt cpc 16776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16777
This theorem is referenced by:  pcqdiv  16797  pcexp  16799  pcaddlem  16828  sylow1lem1  19516  padicabv  27514
  Copyright terms: Public domain W3C validator