MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqmul 16886
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcqmul
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1198 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 elq 12989 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
31, 2sylib 218 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
4 simp3l 1200 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5 elq 12989 . . 3 (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
64, 5sylib 218 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
7 reeanv 3226 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)))
8 reeanv 3226 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)))
9 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
10 simp3r 1201 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
119, 10jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
1211ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
14 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℕ)
1514nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1614nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑦 ≠ 0)
1715, 16div0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑦) = 0)
18 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = (0 / 𝑦))
1918eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → ((𝑥 / 𝑦) = 0 ↔ (0 / 𝑦) = 0))
2017, 19syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 = 0 → (𝑥 / 𝑦) = 0))
2120necon3d 2958 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0))
22 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
2322nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
2422nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ≠ 0)
2523, 24div0d 12039 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (0 / 𝑤) = 0)
26 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧 / 𝑤) = (0 / 𝑤))
2726eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧 / 𝑤) = 0 ↔ (0 / 𝑤) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑧 = 0 → (𝑧 / 𝑤) = 0))
2928necon3d 2958 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑧 / 𝑤) ≠ 0 → 𝑧 ≠ 0))
30 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑃 ∈ ℙ)
31 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑥 ∈ ℤ)
32 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑧 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 12725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ)
3431zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3532zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑧 ∈ ℂ)
36 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑥 ≠ 0)
37 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑧 ≠ 0)
3834, 35, 36, 37mulne0d 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑥 · 𝑧) ≠ 0)
3914adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑦 ∈ ℕ)
4022adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑤 ∈ ℕ)
4139, 40nnmulcld 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ)
42 pcdiv 16885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑥 · 𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑦 · 𝑤) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 · 𝑧)) − (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑤))))
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 · 𝑧)) − (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑤))))
44 pcmul 16884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) + (𝑃 pCnt 𝑧)))
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝑥 · 𝑧)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) + (𝑃 pCnt 𝑧)))
4639nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑦 ∈ ℤ)
4716adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑦 ≠ 0)
4840nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑤 ∈ ℤ)
4924adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑤 ≠ 0)
50 pcmul 16884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑤)) = ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑤)))
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑤)) = ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑤)))
5245, 51oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → ((𝑃 pCnt (𝑥 · 𝑧)) − (𝑃 pCnt (𝑦 · 𝑤))) = (((𝑃 pCnt 𝑥) + (𝑃 pCnt 𝑧)) − ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑤))))
53 pczcl 16881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
5430, 31, 36, 53syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
5554nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑥) ∈ ℂ)
56 pczcl 16881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℕ0)
5730, 32, 37, 56syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑧) ∈ ℂ)
5930, 39pccld 16883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
6059nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
6130, 40pccld 16883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑤) ∈ ℕ0)
6261nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt 𝑤) ∈ ℂ)
6355, 58, 60, 62addsub4d 11664 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (((𝑃 pCnt 𝑥) + (𝑃 pCnt 𝑧)) − ((𝑃 pCnt 𝑦) + (𝑃 pCnt 𝑤))) = (((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) + ((𝑃 pCnt 𝑧) − (𝑃 pCnt 𝑤))))
6443, 52, 633eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))) = (((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) + ((𝑃 pCnt 𝑧) − (𝑃 pCnt 𝑤))))
6515adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
6623adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → 𝑤 ∈ ℂ)
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤)))
6867oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = (𝑃 pCnt ((𝑥 · 𝑧) / (𝑦 · 𝑤))))
69 pcdiv 16885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)))
71 pcdiv 16885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑃 pCnt 𝑧) − (𝑃 pCnt 𝑤)))
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑃 pCnt 𝑧) − (𝑃 pCnt 𝑤)))
7370, 72oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤))) = (((𝑃 pCnt 𝑥) − (𝑃 pCnt 𝑦)) + ((𝑃 pCnt 𝑧) − (𝑃 pCnt 𝑤))))
7464, 68, 733eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0))) → (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤))))
7574expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)))))
7621, 29, 75syl2and 608 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 ∧ (𝑧 / 𝑤) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)))))
77 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) ≠ 0))
78 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑧 / 𝑤) ≠ 0))
7977, 78bi2anan9 638 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 ∧ (𝑧 / 𝑤) ≠ 0)))
80 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤)))
8180oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))))
82 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
83 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝑃 pCnt 𝐵) = (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)))
8482, 83oveqan12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤))))
8581, 84eqeq12d 2750 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ((𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)) ↔ (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤)))))
8679, 85imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))) ↔ (((𝑥 / 𝑦) ≠ 0 ∧ (𝑧 / 𝑤) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑥 / 𝑦) · (𝑧 / 𝑤))) = ((𝑃 pCnt (𝑥 / 𝑦)) + (𝑃 pCnt (𝑧 / 𝑤))))))
8776, 86syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))))
8813, 87sylanl1 680 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))))
8912, 88mpid 44 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))))
9089rexlimdvva 3210 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))))
918, 90biimtrrid 243 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))))
9291rexlimdvva 3210 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))))
937, 92biimtrrid 243 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵))))
943, 6, 93mp2and 699 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑃 pCnt 𝐴) + (𝑃 pCnt 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cq 12987  cprime 16704   pCnt cpc 16869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870
This theorem is referenced by:  pcqdiv  16890  pcexp  16892  pcaddlem  16921  sylow1lem1  19630  padicabv  27688
  Copyright terms: Public domain W3C validator