MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcqmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcqmul 16730
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))

Proof of Theorem pcqmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1200 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 elq 12880 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
31, 2sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ))
4 simp3l 1202 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 elq 12880 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
64, 5sylib 217 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค))
7 reeanv 3216 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
8 reeanv 3216 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)))
9 simp2r 1201 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
10 simp3r 1203 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10jca 513 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
1514nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1614nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
1715, 16div0d 11935 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ฆ) = 0)
18 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = (0 / ๐‘ฆ))
1918eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0 โ†” (0 / ๐‘ฆ) = 0))
2017, 19syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) = 0))
2120necon3d 2961 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
2322nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
2422nnne0d 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
2523, 24div0d 11935 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (0 / ๐‘ค) = 0)
26 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = (0 / ๐‘ค))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = 0 โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) = 0 โ†” (0 / ๐‘ค) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง / ๐‘ค) = 0))
2928necon3d 2961 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0 โ†’ ๐‘ง โ‰  0))
30 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
31 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
32 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
3431zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3532zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
36 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
37 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
3834, 35, 36, 37mulne0d 11812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0)
3914adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4022adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
4139, 40nnmulcld 12211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
42 pcdiv 16729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ง) โ‰  0) โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
44 pcmul 16728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)))
4639nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4716adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4840nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
4924adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โ‰  0)
50 pcmul 16728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ค โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
5245, 51oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
53 pczcl 16725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5430, 31, 36, 53syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
5554nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
56 pczcl 16725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5730, 32, 37, 56syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
5857nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
5930, 39pccld 16727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
6130, 40pccld 16727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„•0)
6261nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
6355, 58, 60, 62addsub4d 11564 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ง)) โˆ’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6443, 52, 633eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
6515adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6623adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค)))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) / (๐‘ฆ ยท ๐‘ค))))
69 pcdiv 16729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)))
71 pcdiv 16729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โ‰  0) โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค)))
7370, 72oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))) = (((๐‘ƒ pCnt ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ฆ)) + ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ง) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ค))))
7464, 68, 733eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
7574expr 458 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ง โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
7621, 29, 75syl2and 609 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
77 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0))
78 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†” (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0))
7977, 78bi2anan9 638 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0)))
80 oveq12 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค)))
8180oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))))
82 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ด) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)))
83 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐ต) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))
8482, 83oveqan12d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))
8581, 84eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)) โ†” (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค)))))
8679, 85imbi12d 345 . . . . . . . . 9 ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))) โ†” (((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โ‰  0 โˆง (๐‘ง / ๐‘ค) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ฅ / ๐‘ฆ) ยท (๐‘ง / ๐‘ค))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ฅ / ๐‘ฆ)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘ง / ๐‘ค))))))
8776, 86syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8813, 87sylanl1 679 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))))
8912, 88mpid 44 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9089rexlimdvva 3202 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
918, 90biimtrrid 242 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
9291rexlimdvva 3202 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
937, 92biimtrrid 242 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐ด = (๐‘ฅ / ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• ๐ต = (๐‘ง / ๐‘ค)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต))))
943, 6, 93mp2and 698 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐ด) + (๐‘ƒ pCnt ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„šcq 12878  โ„™cprime 16552   pCnt cpc 16713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714
This theorem is referenced by:  pcqdiv  16734  pcexp  16736  pcaddlem  16765  sylow1lem1  19385  padicabv  26994
  Copyright terms: Public domain W3C validator