Theorem zq 12970

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	div1d 12009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3		1nn 12251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		znq 12968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
6	2, 5	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  1c1 11130   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ℚcq 12964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-z 12589  df-q 12965

This theorem is referenced by:  zssq  12972  qbtwnxr  13216  modirr  13960  qexpcl  14095  qexpclz  14099  zsqrtelqelz  16777  pczpre  16867  pc0  16874  pcrec  16878  pcdvdstr  16896  pcgcd1  16897  pcgcd  16898  pc2dvds  16899  pc11  16900  sylow1lem1  19579  vitalilem1  25561  elqaalem1  26279  elqaalem3  26281  qaa  26283  2irrexpq  26692  zrtelqelz  26720  2logb9irrALT  26760  2irrexpqALT  26762  lgsneg  27284  lgsdilem2  27296  lgsne0  27298  2sq2  27396  qabvle  27588  ostthlem1  27590  ostthlem2  27591  padicabv  27593  ostth2lem2  27597  ostth2  27600  ostth3  27601  znumd  32791  zdend  32792  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem6  33821  cos9thpiminply  33822  qqhucn  34023  irrdifflemf  37343  irrdiff  37344  mblfinlem1  37681  aks4d1p7d1  42095  oexpreposd  42371  rmxypairf1o  42935  rmxycomplete  42941  rmxyadd  42945  rmxy1  42946  mpaaeu  43174  aacllem  49665