Theorem zq 12996

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	div1d 12000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3		1nn 12261	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		znq 12994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
6	2, 5	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  1c1 11118   / cdiv 11888  ℕcn 12250  ℤcz 12608  ℚcq 12990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-z 12609  df-q 12991

This theorem is used by:  zssq  12998  qbtwnxr  13244  modirr  13998  qexpcl  14133  qexpclz  14137  zsqrtelqelz  16841  pczpre  16931  pc0  16938  pcrec  16942  pcdvdstr  16960  pcgcd1  16961  pcgcd  16962  pc2dvds  16963  pc11  16964  sylow1lem1  19714  vitalilem1  25820  elqaalem1  26533  elqaalem3  26535  qaa  26537  2irrexpq  26949  zrtelqelz  26976  2logb9irrALT  27016  2irrexpqALT  27018  lgsneg  27538  lgsdilem2  27550  lgsne0  27552  2sq2  27650  qabvle  27842  ostthlem1  27844  ostthlem2  27845  padicabv  27847  ostth2lem2  27851  ostth2  27854  ostth3  27855  znumd  33229  zdend  33230  2sqr3minply  34236  cos9thpiminplylem6  34243  cos9thpiminply  34244  qqhucn  34448  irrdifflemf  38028  irrdiff  38029  qdiff  38030  mblfinlem1  38367  aks4d1p7d1  42909  oexpreposd  43143  rmxypairf1o  43698  rmxycomplete  43704  rmxyadd  43708  rmxy1  43709  mpaaeu  43937  sqrtnzqaa  47665  aacllem  50680