Theorem zq 13081

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12698	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	div1d 12085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3		1nn 12346	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		znq 13079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
6	2, 5	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  1c1 11201   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℚcq 13075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-z 12694  df-q 13076

This theorem is used by:  zssq  13083  qbtwnxr  13330  modirr  14085  qexpcl  14220  qexpclz  14224  zsqrtelqelz  16934  pczpre  17025  pc0  17032  pcrec  17036  pcdvdstr  17054  pcgcd1  17055  pcgcd  17056  pc2dvds  17057  pc11  17058  sylow1lem1  19812  vitalilem1  25929  elqaalem1  26642  elqaalem3  26644  qaa  26647  2irrexpq  27059  zrtelqelz  27086  2logb9irrALT  27126  2irrexpqALT  27128  lgsneg  27648  lgsdilem2  27660  lgsne0  27662  2sq2  27760  qabvle  27952  ostthlem1  27954  ostthlem2  27955  padicabv  27957  ostth2lem2  27961  ostth2  27964  ostth3  27965  znumd  33404  zdend  33405  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  qqhucn  34624  irrdifflemf  38246  irrdiff  38247  qdiff  38248  mblfinlem1  38575  aks4d1p7d1  43132  oexpreposd  43379  rmxypairf1o  43917  rmxycomplete  43923  rmxyadd  43927  rmxy1  43928  mpaaeu  44151  sqrtnzqaa  47913  aacllem  50938