Theorem zq 12865

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	div1d 11907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3		1nn 12154	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		znq 12863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
6	2, 5	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  1c1 11025   / cdiv 11792  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ℚcq 12859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-z 12487  df-q 12860

This theorem is referenced by:  zssq  12867  qbtwnxr  13113  modirr  13863  qexpcl  13998  qexpclz  14002  zsqrtelqelz  16683  pczpre  16773  pc0  16780  pcrec  16784  pcdvdstr  16802  pcgcd1  16803  pcgcd  16804  pc2dvds  16805  pc11  16806  sylow1lem1  19525  vitalilem1  25563  elqaalem1  26281  elqaalem3  26283  qaa  26285  2irrexpq  26694  zrtelqelz  26722  2logb9irrALT  26762  2irrexpqALT  26764  lgsneg  27286  lgsdilem2  27298  lgsne0  27300  2sq2  27398  qabvle  27590  ostthlem1  27592  ostthlem2  27593  padicabv  27595  ostth2lem2  27599  ostth2  27602  ostth3  27603  znumd  32842  zdend  32843  2sqr3minply  33886  cos9thpiminplylem6  33893  cos9thpiminply  33894  qqhucn  34098  irrdifflemf  37469  irrdiff  37470  mblfinlem1  37797  aks4d1p7d1  42275  oexpreposd  42519  rmxypairf1o  43095  rmxycomplete  43101  rmxyadd  43105  rmxy1  43106  mpaaeu  43334  aacllem  49988