Theorem zq 12896

Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 23-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
zq	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	div1d 11915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3		1nn 12177	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		znq 12894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
5	3, 4	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 / 1) ∈ ℚ)
6	2, 5	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357  1c1 11031   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℤcz 12516  ℚcq 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-z 12517  df-q 12891

This theorem is referenced by:  zssq  12898  qbtwnxr  13144  modirr  13896  qexpcl  14031  qexpclz  14035  zsqrtelqelz  16720  pczpre  16810  pc0  16817  pcrec  16821  pcdvdstr  16839  pcgcd1  16840  pcgcd  16841  pc2dvds  16842  pc11  16843  sylow1lem1  19565  vitalilem1  25594  elqaalem1  26304  elqaalem3  26306  qaa  26308  2irrexpq  26714  zrtelqelz  26741  2logb9irrALT  26781  2irrexpqALT  26783  lgsneg  27303  lgsdilem2  27315  lgsne0  27317  2sq2  27415  qabvle  27607  ostthlem1  27609  ostthlem2  27610  padicabv  27612  ostth2lem2  27616  ostth2  27619  ostth3  27620  znumd  32906  zdend  32907  2sqr3minply  33973  cos9thpiminplylem6  33980  cos9thpiminply  33981  qqhucn  34185  irrdifflemf  37694  irrdiff  37695  qdiff  37696  mblfinlem1  38033  aks4d1p7d1  42576  oexpreposd  42808  rmxypairf1o  43365  rmxycomplete  43371  rmxyadd  43375  rmxy1  43376  mpaaeu  43604  aacllem  50299