MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zq 11995
Description: An integer is a rational number. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
zq (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)

Proof of Theorem zq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 11629 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
21div1d 11047 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 / 1) = 𝑥)
32eqeq2d 2775 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (𝐴 = (𝑥 / 1) ↔ 𝐴 = 𝑥))
4 eqcom 2772 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝐴 = 𝑥)
53, 4syl6rbbr 281 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴𝐴 = (𝑥 / 1)))
6 1nn 11287 . . . . 5 1 ∈ ℕ
7 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 / 1))
87rspceeqv 3479 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑥 / 1)) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
96, 8mpan 681 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 1) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
105, 9syl6bi 244 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
1110reximia 3155 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
12 risset 3209 . 2 (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 𝐴)
13 elq 11991 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
1411, 12, 133imtr4i 283 1 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  (class class class)co 6842  1c1 10190   / cdiv 10938  cn 11274  cz 11624  cq 11989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-z 11625  df-q 11990
This theorem is referenced by:  zssq  11996  qbtwnxr  12233  modirr  12949  qexpcl  13083  qexpclz  13088  zsqrtelqelz  15745  pczpre  15831  pc0  15838  pcrec  15842  pcdvdstr  15859  pcgcd1  15860  pcgcd  15861  pc2dvds  15862  pc11  15863  sylow1lem1  18277  vitalilem1  23666  elqaalem1  24365  elqaalem3  24367  qaa  24369  lgsneg  25337  lgsdilem2  25349  lgsne0  25351  qabvle  25605  ostthlem1  25607  ostthlem2  25608  padicabv  25610  ostth2lem2  25614  ostth2  25617  ostth3  25618  qqhucn  30483  mblfinlem1  33870  rmxypairf1o  38153  rmxycomplete  38159  rmxyadd  38163  rmxy1  38164  mpaaeu  38397  aacllem  43219
  Copyright terms: Public domain W3C validator