Theorem pj1ghm2 19631

Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1ghm2	⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom (𝐺 ↾s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1ghm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		pj1eu.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		pj1eu.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		pj1eu.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		pj1eu.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pj1eu.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
8		pj1eu.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9		pj1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pj1ghm 19630	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom 𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pj1f 19624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
12	11	frnd 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑇) = (𝐺 ↾s 𝑇)
14	13	resghm2b 19161	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom (𝐺 ↾s 𝑇))))
15	5, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom 𝐺) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom (𝐺 ↾s 𝑇))))
16	10, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝐺 ↾s (𝑇 ⊕ 𝑈)) GrpHom (𝐺 ↾s 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357  SubGrpcsubg 19048   GrpHom cghm 19139  Cntzccntz 19242  LSSumclsm 19561  proj₁cpj1 19562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-pj1 19564

This theorem is referenced by: (None)