MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selbergsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selbergsb 26148
Description: Selberg's symmetry formula, using the definition of the Selberg function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
Assertion
Ref Expression
selbergsb 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑎,𝑐,𝑖,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem selbergsb
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selbergb 26122 . 2 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐
2 1re 10626 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 elicopnf 12821 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
54simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 pntsval.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
76pntsval 26145 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑆𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (𝑆𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))))
98oveq1d 7153 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((𝑆𝑥) / 𝑥) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥))
109fvoveq1d 7160 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) = (abs‘((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))))
1110breq1d 5057 . . . 4 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → ((abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐))
1211ralbiia 3158 . . 3 (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐)
1312rexbii 3241 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑛) · ((log‘𝑛) + (ψ‘(𝑥 / 𝑛)))) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐)
141, 13mpbir 234 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑥) / 𝑥) − (2 · (log‘𝑥)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  wrex 3133   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527  +∞cpnf 10657  cle 10661  cmin 10855   / cdiv 11282  2c2 11678  +crp 12375  [,)cico 12726  ...cfz 12883  cfl 13153  abscabs 14582  Σcsu 15031  logclog 25135  Λcvma 25666  ψcchp 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-disj 5013  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14415  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-limsup 14817  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-o1 14836  df-lo1 14837  df-sum 15032  df-ef 15410  df-e 15411  df-sin 15412  df-cos 15413  df-tan 15414  df-pi 15415  df-dvds 15597  df-gcd 15831  df-prm 16003  df-pc 16161  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-cmp 21981  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918  df-cncf 23472  df-limc 24458  df-dv 24459  df-ulm 24961  df-log 25137  df-cxp 25138  df-atan 25442  df-em 25567  df-vma 25672  df-chp 25673  df-mu 25675
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  26153
  Copyright terms: Public domain W3C validator