Theorem pntsf 25613

Description: Functionality of the Selberg function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntsval.1	⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))

Assertion

Ref	Expression
pntsf	⊢ 𝑆:ℝ⟶ℝ

Distinct variable group:   𝑖,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntsf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntsval.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
2		fzfid 13026	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (1...(⌊‘𝑎)) ∈ Fin)
3		elfznn 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎)) → 𝑖 ∈ ℕ)
4	3	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5		vmacl 25195	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7	4	nnrpd 12114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → 𝑖 ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 24709	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → (log‘𝑖) ∈ ℝ)
9		simpl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
10	9, 4	nndivred 11366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → (𝑎 / 𝑖) ∈ ℝ)
11		chpcl 25201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 / 𝑖) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑎 / 𝑖)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → (ψ‘(𝑎 / 𝑖)) ∈ ℝ)
13	8, 12	readdcld 10359	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖))) ∈ ℝ)
14	6, 13	remulcld 10360	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))) → ((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) ∈ ℝ)
15	2, 14	fsumrecl 14805	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))) ∈ ℝ)
16	1, 15	fmpti 6609	1 ⊢ 𝑆:ℝ⟶ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ↦ cmpt 4923  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℝcr 10224  1c1 10226   + caddc 10228   · cmul 10230   / cdiv 10977  ℕcn 11313  ...cfz 12579  ⌊cfl 12845  Σcsu 14756  logclog 24641  Λcvma 25169  ψcchp 25170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-dvds 15319  df-gcd 15551  df-prm 15719  df-pc 15874  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643  df-vma 25175  df-chp 25176

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  25617  pntrlog2bndlem3  25619  pntrlog2bndlem4  25620