Theorem prstcprs 50051

Description: The category is a preordered set. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcprs	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Proof of Theorem prstcprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
2		prstcnid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	2, 1, 3	prstcbas 50045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	2, 1, 5	prstcleval 50046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
7		fvex 6849	. . . . 5 ⊢ (ProsetToCat‘𝐾) ∈ V
8	2, 7	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
9	4, 6, 8	isprsd 49446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10	3, 5, 1	isprsd 49446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11	9, 10	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ 𝐾 ∈ Proset ))
12	1, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  lecple 17222   Proset cproset 18253  ProsetToCatcprstc 50040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ple 17235  df-hom 17239  df-cco 17240  df-proset 18255  df-prstc 50041

This theorem is referenced by:  prstcthin  50052  postcpos  50058  postcposALT  50059  postc  50060