Theorem prstcprs 47185

Description: The category is a preordered set. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcprs	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Proof of Theorem prstcprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
2		prstcnid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	2, 1, 3	prstcbas 47177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	2, 1, 5	prstcleval 47178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
7		fvex 6859	. . . . 5 ⊢ (ProsetToCat‘𝐾) ∈ V
8	2, 7	eqeltrdi 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
9	4, 6, 8	isprsd 47078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10	3, 5, 1	isprsd 47078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11	9, 10	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ 𝐾 ∈ Proset ))
12	1, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3061  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  ‘cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148   Proset cproset 18190  ProsetToCatcprstc 47172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ple 17161  df-hom 17165  df-cco 17166  df-proset 18192  df-prstc 47173

This theorem is referenced by:  prstcthin  47186  postcpos  47190  postcposALT  47191  postc  47192