Theorem prstcprs 49222

Description: The category is a preordered set. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcprs	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Proof of Theorem prstcprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
2		prstcnid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	2, 1, 3	prstcbas 49216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	2, 1, 5	prstcleval 49217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
7		fvex 6885	. . . . 5 ⊢ (ProsetToCat‘𝐾) ∈ V
8	2, 7	eqeltrdi 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
9	4, 6, 8	isprsd 48808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10	3, 5, 1	isprsd 48808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11	9, 10	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ 𝐾 ∈ Proset ))
12	1, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3457   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527  Basecbs 17213  lecple 17263   Proset cproset 18289  ProsetToCatcprstc 49211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ple 17276  df-hom 17280  df-cco 17281  df-proset 18291  df-prstc 49212

This theorem is referenced by:  prstcthin  49223  postcpos  49229  postcposALT  49230  postc  49231