Theorem prstcprs 50182

Description: The category is a preordered set. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )

Assertion

Ref	Expression
prstcprs	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Proof of Theorem prstcprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
2		prstcnid.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
4	2, 1, 3	prstcbas 50176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐶))
5		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐾))
6	2, 1, 5	prstcleval 50177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (le‘𝐾) = (le‘𝐶))
7		fvex 6881	. . . . 5 ⊢ (ProsetToCat‘𝐾) ∈ V
8	2, 7	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
9	4, 6, 8	isprsd 49577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10	3, 5, 1	isprsd 49577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Proset ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11	9, 10	bitr4d 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Proset ↔ 𝐾 ∈ Proset ))
12	1, 11	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  Vcvv 3455   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  lecple 17294   Proset cproset 18325  ProsetToCatcprstc 50171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ple 17307  df-hom 17311  df-cco 17312  df-proset 18327  df-prstc 50172

This theorem is referenced by:  prstcthin  50183  postcpos  50189  postcposALT  50190  postc  50191