Theorem ply1plusg 21377

Description: Value of addition in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1plusg.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusg	⊢ + = (+g‘𝑆)

Proof of Theorem ply1plusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1plusg.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplplusg 21372	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1plusg 21374	. . 3 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6781	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 21346	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressplusg 16981	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2773	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2770	1 ⊢ + = (+g‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1_oc1o 8274  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943   mPwSer cmps 21088   mPoly cmpl 21090  PwSer₁cps1 21327  Poly₁cpl1 21329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-dec 12420  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-ple 16963  df-psr 21093  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-ply1 21334

This theorem is referenced by:  ressply1add  21382  subrgply1  21385  ply1plusgfvi  21394  ply1plusgpropd  21396  ply1mpl0  21407  coe1add  21416  ply1coe  21448  evls1rhm  21469  evl1rhm  21479  deg1addle  25247