Theorem ply1plusg 20934

Description: Value of addition in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1plusg.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
ply1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1plusg.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusg	⊢ + = (+g‘𝑆)

Proof of Theorem ply1plusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1plusg.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑌)
2		ply1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5	2, 3, 4	mplplusg 20929	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
6		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
7		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘(PwSer1‘𝑅))
8	6, 3, 7	psr1plusg 20931	. . 3 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9		fvex 6664	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10		ply1plusg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
11	10, 6	ply1val 20903	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
12	11, 7	ressplusg 16655	. . . 4 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘𝑌))
13	9, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(PwSer1‘𝑅)) = (+g‘𝑌)
14	5, 8, 13	3eqtr2i 2788	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑌)
15	1, 14	eqtr4i 2785	1 ⊢ + = (+g‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1_oc1o 8098  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608   mPwSer cmps 20651   mPoly cmpl 20653  PwSer₁cps1 20884  Poly₁cpl1 20886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-dec 12123  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-ple 16628  df-psr 20656  df-mpl 20658  df-opsr 20660  df-psr1 20889  df-ply1 20891

This theorem is referenced by:  ressply1add  20939  subrgply1  20942  ply1plusgfvi  20951  ply1plusgpropd  20953  ply1mpl0  20964  coe1add  20973  ply1coe  21005  evls1rhm  21026  evl1rhm  21036  deg1addle  24786