MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusg 22161
Description: Value of addition in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
ply1plusg.s 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
ply1plusg.p + = (+g𝑌)
Assertion
Ref Expression
ply1plusg + = (+g𝑆)

Proof of Theorem ply1plusg
StepHypRef Expression
1 ply1plusg.p . 2 + = (+g𝑌)
2 ply1plusg.s . . . 4 𝑆 = (1o mPoly 𝑅)
3 eqid 2728 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4 eqid 2728 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
52, 3, 4mplplusg 21966 . . 3 (+g𝑆) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
6 eqid 2728 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 eqid 2728 . . . 4 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g‘(PwSer1𝑅))
86, 3, 7psr1plusg 22158 . . 3 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
9 fvex 6915 . . . 4 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
10 ply1plusg.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
1110, 6ply1val 22131 . . . . 5 𝑌 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
1211, 7ressplusg 17280 . . . 4 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g𝑌))
139, 12ax-mp 5 . . 3 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g𝑌)
145, 8, 133eqtr2i 2762 . 2 (+g𝑆) = (+g𝑌)
151, 14eqtr4i 2759 1 + = (+g𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8488  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   mPwSer cmps 21851   mPoly cmpl 21853  PwSer1cps1 22112  Poly1cpl1 22114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-ple 17262  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-ply1 22119
This theorem is referenced by:  ressply1add  22167  subrgply1  22170  ply1plusgfvi  22179  ply1plusgpropd  22181  ply1mpl0  22193  coe1add  22202  ply1coe  22236  evls1rhm  22260  evl1rhm  22270  deg1addle  26065  rhmply1  41831
  Copyright terms: Public domain W3C validator