Theorem ramtcl 17193

Description: The Ramsey number has the Ramsey number property if any number does. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}

Assertion

Ref	Expression
ramtcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑇(𝑥, 𝑓, 𝑖, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐹(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem ramtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4286	. 2 ⊢ ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 → 𝑇 ≠ ∅)
2		ramval.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3		ramval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
4	2, 3	ramcl2lem 17192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
5		ifnefalse 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ → if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = inf(𝑇, ℝ, < ))
6	4, 5	sylan9eq 2815	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
7	3	ssrab3 4007	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ0
8		nn0uz 13006	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	sseqtri 3956	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0))
11		infssuzcl 13062	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
13	6, 12	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇)
14	13	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑇 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇))
15	1, 14	impbid2 229	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇 ↔ 𝑇 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8850  infcinf 9436  ℝcr 11202  0cc0 11203  +∞cpnf 11343   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  ♯chash 14477   Ramsey cram 17182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-ram 17184

This theorem is used by:  ramtcl2  17194  rami  17198