MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ramtcl 16447
Description: The Ramsey number has the Ramsey number property if any number does. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
ramval.t 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
Assertion
Ref Expression
ramtcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇𝑇 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑥,𝐶   𝑛,𝑐,𝑠,𝐹,𝑓,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑛,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑖,𝑛,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramtcl
StepHypRef Expression
1 ne0i 4224 . 2 ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇𝑇 ≠ ∅)
2 ramval.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3 ramval.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐𝑅𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (𝑓 “ {𝑐})))}
42, 3ramcl2lem 16446 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )))
5 ifnefalse 4427 . . . . 5 (𝑇 ≠ ∅ → if(𝑇 = ∅, +∞, inf(𝑇, ℝ, < )) = inf(𝑇, ℝ, < ))
64, 5sylan9eq 2793 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) = inf(𝑇, ℝ, < ))
73ssrab3 3972 . . . . . . 7 𝑇 ⊆ ℕ0
8 nn0uz 12363 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
97, 8sseqtri 3914 . . . . . 6 𝑇 ⊆ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → 𝑇 ⊆ (ℤ‘0))
11 infssuzcl 12415 . . . . 5 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
1210, 11sylan 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
136, 12eqeltrd 2833 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇)
1413ex 416 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑇 ≠ ∅ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇))
151, 14impbid2 229 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅𝑉𝐹:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ 𝑇𝑇 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  wss 3844  c0 4212  ifcif 4415  𝒫 cpw 4489  {csn 4517   class class class wbr 5031  ccnv 5525  cima 5529  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  cmpo 7173  m cmap 8438  infcinf 8979  cr 10615  0cc0 10616  +∞cpnf 10751   < clt 10754  cle 10755  0cn0 11977  cuz 12325  chash 13783   Ramsey cram 16436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-sup 8980  df-inf 8981  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-ram 16438
This theorem is referenced by:  ramtcl2  16448  rami  16452
  Copyright terms: Public domain W3C validator