Theorem relexpxpnnidm 44530

Description: Any positive power of a Cartesian product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpxpnnidm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
2	1	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
3	2	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
6	5	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
9	8	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
12	11	imbi2d 343	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14		xpexg 7752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15		relexp1g 15101	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
16	13, 14, 15	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅))
18	17, 13, 14	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20		relexpsucnnr 15100	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
23	22	coeq1d 5845	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24		simp23 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25	24	xpcoidgend 15050	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
26	21, 23, 25	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27	26	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
28	27	a2d 30	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
29	3, 6, 9, 12, 16, 28	nnind 12278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  (class class class)co 7416  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260  ↑_𝑟crelexp 15094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-relexp 15095

This theorem is used by:  relexpxpmin  44544