Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpnnidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpnnidm 40805
 Description: Any positive power of a Cartesian product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpnnidm (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7163 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
21eqeq1d 2760 . . 3 (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
32imbi2d 344 . 2 (𝑥 = 1 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4 oveq2 7163 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2760 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
65imbi2d 344 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7 oveq2 7163 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2760 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
98imbi2d 344 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10 oveq2 7163 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2760 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
1211imbi2d 344 . 2 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13 3simpa 1145 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
14 xpexg 7476 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15 relexp1g 14438 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
1613, 14, 153syl 18 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅))
1817, 13, 143syl 18 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20 relexpsucnnr 14437 . . . . . 6 (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
2118, 19, 20syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
2322coeq1d 5706 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24 simp23 1205 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴𝐵) ≠ ∅)
2524xpcoidgend 14387 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
2621, 23, 253eqtrd 2797 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27263exp 1116 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
2827a2d 29 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
293, 6, 9, 12, 16, 28nnind 11697 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ∩ cin 3859  ∅c0 4227   × cxp 5525   ∘ ccom 5531  (class class class)co 7155  1c1 10581   + caddc 10583  ℕcn 11679  ↑𝑟crelexp 14431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-relexp 14432 This theorem is referenced by:  relexpxpmin  40819
 Copyright terms: Public domain W3C validator