Theorem relexpxpnnidm 41200

Description: Any positive power of a Cartesian product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpxpnnidm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
2	1	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
3	2	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
6	5	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
9	8	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13		3simpa 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14		xpexg 7578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15		relexp1g 14665	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
16	13, 14, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅))
18	17, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20		relexpsucnnr 14664	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
21	18, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
23	22	coeq1d 5759	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24		simp23 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25	24	xpcoidgend 14614	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
26	21, 23, 25	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27	26	3exp 1117	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
28	27	a2d 29	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
29	3, 6, 9, 12, 16, 28	nnind 11921	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ∅c0 4253   × cxp 5578   ∘ ccom 5584  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  relexpxpmin  41214