Theorem relexpxpnnidm 43981

Description: Any positive power of a Cartesian product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpxpnnidm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
2	1	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
3	2	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
6	5	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
9	8	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13		3simpa 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14		xpexg 7695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15		relexp1g 14951	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
16	13, 14, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅))
18	17, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20		relexpsucnnr 14950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
21	18, 19, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
23	22	coeq1d 5809	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24		simp23 1210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25	24	xpcoidgend 14900	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
26	21, 23, 25	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27	26	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
28	27	a2d 29	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
29	3, 6, 9, 12, 16, 28	nnind 12165	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  Vcvv 3439   ∩ cin 3899  ∅c0 4284   × cxp 5621   ∘ ccom 5627  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147  ↑_𝑟crelexp 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-relexp 14945

This theorem is referenced by:  relexpxpmin  43995