Theorem relexpxpnnidm 41965

Description: Any positive power of a Cartesian product of non-disjoint sets is itself. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpxpnnidm	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem relexpxpnnidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1))
2	1	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵)))
3	2	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))))
4		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)))
6	5	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))))
7		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵)))
9	8	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
10		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵) ↔ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))
12	11	imbi2d 340	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑥) = (𝐴 × 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵))))
13		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
14		xpexg 7684	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
15		relexp1g 14911	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
16	13, 14, 15	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟1) = (𝐴 × 𝐵))
17		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅))
18	17, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
20		relexpsucnnr 14910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
22		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
23	22	coeq1d 5817	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)))
24		simp23 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25	24	xpcoidgend 14860	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵) ∘ (𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
26	21, 23, 25	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))
27	26	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
28	27	a2d 29	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑦) = (𝐴 × 𝐵)) → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝐴 × 𝐵))))
29	3, 6, 9, 12, 16, 28	nnind 12171	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝑁) = (𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∩ cin 3909  ∅c0 4282   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  ℕcn 12153  ↑_𝑟crelexp 14904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-relexp 14905

This theorem is referenced by:  relexpxpmin  41979