Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpmin 43706
Description: The composition of powers of a Cartesian product of non-disjoint sets is the Cartesian product raised to the minimum exponent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpmin (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpxpmin
StepHypRef Expression
1 elnn0 12525 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 elnn0 12525 . . . . . 6 (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
3 ifeqor 4581 . . . . . . . . . 10 (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
4 andi 1009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
54biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
63, 5mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
7 eqtr 2757 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
8 eqtr 2757 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾) → 𝐼 = 𝐾)
97, 8orim12i 908 . . . . . . . . 9 (((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾))
10 relexpxpnnidm 43692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵)))
1110imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
12113ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
13 relexpxpnnidm 43692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
1413imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
15143ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
1615oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾))
17 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐽)
1817oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽))
1918, 15eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = (𝐴 × 𝐵))
2012, 16, 193eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
21203exp1 1351 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 𝐽 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
22143ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
23 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐾)
2423eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 𝐼)
2522, 24oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
26253exp1 1351 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 𝐾 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2721, 26jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
286, 9, 273syl 18 . . . . . . . 8 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2928com13 88 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
30 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
31 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 = 0)
32 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
3332nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 0 < 𝐾)
3431, 33eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 < 𝐾)
3534iftrued 4538 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽)
3630, 35, 313eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
37 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
38 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
3937, 38xpexd 7769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
40 dmexg 7923 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41 rnexg 7924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4240, 41jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
43 unexg 7761 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
4439, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
45 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4645nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47 relexpiidm 43693 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
49 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
5049oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
51 relexp0g 15057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5239, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5350, 52eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5453oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾))
55 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
5655oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
5756, 52eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5848, 54, 573eqtr4d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
5958ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
6036, 59syld3an3 1408 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
61603exp 1118 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 = 0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
6229, 61jaod 859 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
632, 62biimtrid 242 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
64 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 = 0)
652biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
66653ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
67 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
68 nn0nlt0 12549 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐽 < 0)
69683ad2ant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 0)
7064breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 < 𝐾𝐽 < 0))
7169, 70mtbird 325 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 𝐾)
7271iffalsed 4541 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
7367, 72, 643eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
74133ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
7574imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
7675oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
77 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
7877oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0))
79 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
8079oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8176, 78, 803eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
82813exp1 1351 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
83 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
84 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
8583, 84xpexd 7769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
86 relexp0idm 43704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
88 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
8988oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
90 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
9189, 90oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0))
92 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
9392oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
9487, 91, 933eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
95943exp1 1351 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → (𝐽 = 0 → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9682, 95jaod 859 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9764, 66, 73, 96syl3c 66 . . . . . 6 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
98973exp 1118 . . . . 5 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9963, 98jaoi 857 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1001, 99sylbi 217 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1011003imp31 1111 . 2 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
102101impcom 407 1 (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cun 3960  cin 3961  c0 4338  ifcif 4530   class class class wbr 5147   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  (class class class)co 7430  0cc0 11152   < clt 11292  cn 12263  0cn0 12523  𝑟crelexp 15054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-relexp 15055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator