Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpxpmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpxpmin 40052
Description: The composition of powers of a cross-product of non-disjoint sets is the cross product raised to the minimum exponent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpxpmin (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpxpmin
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
2 elnn0 11891 . . . . . 6 (𝐽 ∈ ℕ0 ↔ (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
3 ifeqor 4514 . . . . . . . . . 10 (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
4 andi 1003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
54biimpi 218 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ (if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽 ∨ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
63, 5mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)))
7 eqtr 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
8 eqtr 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾) → 𝐼 = 𝐾)
97, 8orim12i 904 . . . . . . . . 9 (((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽) ∨ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)) → (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾))
10 relexpxpnnidm 40038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵)))
1110imp 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
12113ad2antl3 1181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾) = (𝐴 × 𝐵))
13 relexpxpnnidm 40038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
1413imp 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
15143ad2antl2 1180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
1615oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐾))
17 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐽)
1817oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽))
1918, 15eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = (𝐴 × 𝐵))
2012, 16, 193eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 = 𝐽𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
21203exp1 1346 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 𝐽 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
22143ad2antl2 1180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
23 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 𝐾)
2423eqcomd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 𝐼)
2522, 24oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 = 𝐾𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
26253exp1 1346 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 𝐾 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2721, 26jaoi 853 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
286, 9, 273syl 18 . . . . . . . 8 (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
2928com13 88 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
30 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
31 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 = 0)
32 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
3332nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 0 < 𝐾)
3431, 33eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐽 < 𝐾)
3534iftrued 4473 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐽)
3630, 35, 313eqtrd 2858 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
37 simpr1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
38 simpr2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
3937, 38xpexd 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
40 dmexg 7605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41 rnexg 7606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4240, 41jca 514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
43 unexg 7464 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
4439, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
45 simpl1 1185 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ)
4645nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47 relexpiidm 40039 . . . . . . . . . . . 12 (((dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
4844, 46, 47syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
49 simpl2 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
5049oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
51 relexp0g 14373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5239, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5350, 52eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5453oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵)))↑𝑟𝐾))
55 simpl3 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
5655oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
5756, 52eqtrd 2854 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ( I ↾ (dom (𝐴 × 𝐵) ∪ ran (𝐴 × 𝐵))))
5848, 54, 573eqtr4d 2864 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
5958ex 415 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
6036, 59syld3an3 1403 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
61603exp 1113 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 = 0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
6229, 61jaod 855 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
632, 62syl5bi 244 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
64 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐾 = 0)
652biimpi 218 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
66653ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0))
67 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾))
68 nn0nlt0 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐽 < 0)
69683ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 0)
7064breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → (𝐽 < 𝐾𝐽 < 0))
7169, 70mtbird 327 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ¬ 𝐽 < 𝐾)
7271iffalsed 4476 . . . . . . . 8 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) = 𝐾)
7367, 72, 643eqtrd 2858 . . . . . . 7 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → 𝐼 = 0)
74133ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵)))
7574imp 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = (𝐴 × 𝐵))
7675oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
77 simpl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
7877oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟0))
79 simpl3 1187 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
8079oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8176, 78, 803eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
82813exp1 1346 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
83 simpr1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐴𝑈)
84 simpr2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐵𝑉)
8583, 84xpexd 7466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
86 relexp0idm 40050 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
88 simpl2 1186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐽 = 0)
8988oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
90 simpl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐾 = 0)
9189, 90oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0)↑𝑟0))
92 simpl3 1187 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → 𝐼 = 0)
9392oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟0))
9487, 91, 933eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = 0) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
95943exp1 1346 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → (𝐽 = 0 → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9682, 95jaod 855 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → ((𝐽 ∈ ℕ ∨ 𝐽 = 0) → (𝐼 = 0 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9764, 66, 73, 96syl3c 66 . . . . . 6 ((𝐾 = 0 ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾)) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
98973exp 1113 . . . . 5 (𝐾 = 0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
9963, 98jaoi 853 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0) → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1001, 99sylbi 219 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))))
1011003imp31 1106 . 2 ((𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼)))
102101impcom 410 1 (((𝐴𝑈𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ≠ ∅) ∧ (𝐼 = if(𝐽 < 𝐾, 𝐽, 𝐾) ∧ 𝐽 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)) → (((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = ((𝐴 × 𝐵)↑𝑟𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  Vcvv 3493  cun 3932  cin 3933  c0 4289  ifcif 4465   class class class wbr 5057   I cid 5452   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  (class class class)co 7148  0cc0 10529   < clt 10667  cn 11630  0cn0 11889  𝑟crelexp 14371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-relexp 14372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator