Theorem ressplusf 32885

Description: The group operation function +_𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusf.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
ressplusf.4	⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ressplusf	⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusf.5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		resmpo 7509	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
3	1, 1, 2	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
4		ressplusf.4	. . . 4 ⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
5		fnov 7520	. . . 4 ⊢ ( ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
6	4, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
7	6	reseq1i 5946	. 2 ⊢ ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8		ressplusf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
9		ressplusf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	8, 9	ressbas2 17208	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
12		ressplusf.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
13	9	fvexi 6872	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13, 1	ssexi 5277	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	8, 15	ressplusg 17254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
18	12, 17	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
20	11, 18, 19	plusffval 18573	. 2 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
21	3, 7, 20	3eqtr4ri 2763	1 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   × cxp 5636   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  +_𝑓cplusf 18564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-plusf 18566

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  33930  xrge0tmdALT  33936