Theorem ressplusf 32939

Description: The group operation function +_𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusf.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
ressplusf.4	⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ressplusf	⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusf.5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		resmpo 7527	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
3	1, 1, 2	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
4		ressplusf.4	. . . 4 ⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
5		fnov 7538	. . . 4 ⊢ ( ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
6	4, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
7	6	reseq1i 5962	. 2 ⊢ ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8		ressplusf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
9		ressplusf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	8, 9	ressbas2 17259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
12		ressplusf.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
13	9	fvexi 6890	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13, 1	ssexi 5292	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	8, 15	ressplusg 17305	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
18	12, 17	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
19		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
20	11, 18, 19	plusffval 18624	. 2 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
21	3, 7, 20	3eqtr4ri 2769	1 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   × cxp 5652   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  +_𝑓cplusf 18615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-plusf 18617

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  33971  xrge0tmdALT  33977