Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusf 30212
Description: The group operation function +𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusf.3 = (+g𝐺)
ressplusf.4 Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
ressplusf (+𝑓𝐻) = ( ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressplusf.5 . . 3 𝐴𝐵
2 resmpt2 7035 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦)))
31, 1, 2mp2an 682 . 2 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦))
4 ressplusf.4 . . . 4 Fn (𝐵 × 𝐵)
5 fnov 7045 . . . 4 ( Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)))
64, 5mpbi 222 . . 3 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦))
76reseq1i 5638 . 2 ( ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8 ressplusf.2 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
9 ressplusf.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
108, 9ressbas2 16327 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝐻))
111, 10ax-mp 5 . . 3 𝐴 = (Base‘𝐻)
12 ressplusf.3 . . . 4 = (+g𝐺)
139fvexi 6460 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
1413, 1ssexi 5040 . . . . 5 𝐴 ∈ V
15 eqid 2778 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
168, 15ressplusg 16385 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1714, 16ax-mp 5 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐻)
1812, 17eqtri 2802 . . 3 = (+g𝐻)
19 eqid 2778 . . 3 (+𝑓𝐻) = (+𝑓𝐻)
2011, 18, 19plusffval 17633 . 2 (+𝑓𝐻) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ↦ (𝑥 𝑦))
213, 7, 203eqtr4ri 2813 1 (+𝑓𝐻) = ( ↾ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792   × cxp 5353  cres 5357   Fn wfn 6130  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  +𝑓cplusf 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-plusf 17627
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  30584  xrge0tmdOLD  30589
  Copyright terms: Public domain W3C validator