Theorem ressplusf 32701

Description: The group operation function +_𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusf.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
ressplusf.4	⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ressplusf	⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusf.5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		resmpo 7535	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
3	1, 1, 2	mp2an 690	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
4		ressplusf.4	. . . 4 ⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
5		fnov 7547	. . . 4 ⊢ ( ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
6	4, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
7	6	reseq1i 5973	. 2 ⊢ ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8		ressplusf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
9		ressplusf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	8, 9	ressbas2 17215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
12		ressplusf.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
13	9	fvexi 6904	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13, 1	ssexi 5315	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	8, 15	ressplusg 17268	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
18	12, 17	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
19		eqid 2725	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
20	11, 18, 19	plusffval 18603	. 2 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
21	3, 7, 20	3eqtr4ri 2764	1 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ⊆ wss 3939   × cxp 5668   ↾ cres 5672   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206  +_gcplusg 17230  +_𝑓cplusf 18594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-plusf 18596

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  33570  xrge0tmdALT  33576