Theorem ressplusf 33620

Description: The group operation function +_𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusf.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
ressplusf.4	⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ressplusf	⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusf.5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		resmpo 7571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
3	1, 1, 2	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
4		ressplusf.4	. . . 4 ⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
5		fnov 7582	. . . 4 ⊢ ( ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
6	4, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
7	6	reseq1i 5982	. 2 ⊢ ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8		ressplusf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
9		ressplusf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	8, 9	ressbas2 17460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
12		ressplusf.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
13	9	fvexi 6930	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13, 1	ssexi 5291	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	8, 15	ressplusg 17508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
18	12, 17	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
20	11, 18, 19	plusffval 18872	. 2 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
21	3, 7, 20	3eqtr4ri 2797	1 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   × cxp 5656   ↾ cres 5660   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  +_𝑓cplusf 18863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-plusf 18865

This theorem is used by:  xrge0pluscn  34683  xrge0tmdALT  34689