Theorem ressplusf 33038

Description: The group operation function +_𝑓 of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressplusf.2	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressplusf.3	⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
ressplusf.4	⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
ressplusf.5	⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ressplusf	⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem ressplusf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressplusf.5	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐵
2		resmpo 7480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
3	1, 1, 2	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
4		ressplusf.4	. . . 4 ⊢ ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵)
5		fnov 7491	. . . 4 ⊢ ( ⨣ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)))
6	4, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
7	6	reseq1i 5934	. 2 ⊢ ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
8		ressplusf.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
9		ressplusf.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	8, 9	ressbas2 17199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐻)
12		ressplusf.3	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐺)
13	9	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
14	13, 1	ssexi 5259	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	8, 15	ressplusg 17245	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻)
18	12, 17	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (+𝑓‘𝐻)
20	11, 18, 19	plusffval 18605	. 2 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥 ⨣ 𝑦))
21	3, 7, 20	3eqtr4ri 2771	1 ⊢ (+𝑓‘𝐻) = ( ⨣ ↾ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   × cxp 5622   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  +_𝑓cplusf 18596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-plusf 18598

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  34100  xrge0tmdALT  34106