Theorem ressnm 30213

Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressnm.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressnm.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ressnm.4	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressnm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressnm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressnm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	ressbas2 16327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
4	3	3ad2ant3 1126	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	2	fvexi 6460	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8	1, 7	ressds 16459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
10	9	3ad2ant3 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11		eqidd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12		ressnm.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12	ress0g 17705	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝐻))
14	10, 11, 13	oveq123d 6943	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
15	4, 14	mpteq12dv 4969	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
16		ressnm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
17	16, 2, 12, 7	nmfval 22801	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
18	17	reseq1i 5638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19		resmpt 5699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
20	18, 19	syl5eq 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21	20	3ad2ant3 1126	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
25		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
26	22, 23, 24, 25	nmfval 22801	. . 3 ⊢ (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
28	15, 21, 27	3eqtr4d 2823	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ⊆ wss 3791   ↦ cmpt 4965   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255   ↾_s cress 16256  distcds 16347  0_gc0g 16486  Mndcmnd 17680  normcnm 22789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-ds 16360  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-nm 22795

This theorem is referenced by:  zringnm  30602  rezh  30613