Theorem ressnm 33045

Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressnm.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressnm.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ressnm.4	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressnm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressnm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressnm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	ressbas2 17205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
4	3	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	2	fvexi 6852	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8	1, 7	ressds 17370	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
10	9	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12		ressnm.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12	ress0g 18727	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝐻))
14	10, 11, 13	oveq123d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
15	4, 14	mpteq12dv 5173	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
16		ressnm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
17	16, 2, 12, 7	nmfval 24569	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
18	17	reseq1i 5938	. . . 4 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19		resmpt 6000	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
20	18, 19	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21	20	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
26	22, 23, 24, 25	nmfval 24569	. . 3 ⊢ (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
28	15, 21, 27	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5630  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176   ↾_s cress 17197  distcds 17226  0_gc0g 17399  Mndcmnd 18699  normcnm 24557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-ds 17239  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-nm 24563

This theorem is referenced by:  zringnm  34124  rezh  34135