Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 31874
Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
ressnm.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ressnm.3 0 = (0gβ€˜πΊ)
ressnm.4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2ressbas2 17128 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
433ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
52fvexi 6860 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
65ssex 5282 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
81, 7ressds 17299 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
1093ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
11 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ π‘₯ = π‘₯)
12 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
131, 2, 12ress0g 18592 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 0 = (0gβ€˜π»))
1410, 11, 13oveq123d 7382 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ) = (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
154, 14mpteq12dv 5200 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
16 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
1716, 2, 12, 7nmfval 23967 . . . . 5 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ))
1817reseq1i 5937 . . . 4 (𝑁 β†Ύ 𝐴) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴)
19 resmpt 5995 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
2018, 19eqtrid 2785 . . 3 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
21203ad2ant3 1136 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
22 eqid 2733 . . . 4 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
23 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
24 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
25 eqid 2733 . . . 4 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
2622, 23, 24, 25nmfval 23967 . . 3 (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
2726a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
2815, 21, 273eqtr4d 2783 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  distcds 17150  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  normcnm 23955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-ds 17163  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-nm 23961
This theorem is referenced by:  zringnm  32603  rezh  32616
  Copyright terms: Public domain W3C validator