Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 32123
Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
ressnm.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ressnm.3 0 = (0gβ€˜πΊ)
ressnm.4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2ressbas2 17181 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
433ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
52fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
65ssex 5321 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
81, 7ressds 17354 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
1093ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
11 eqidd 2733 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ π‘₯ = π‘₯)
12 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
131, 2, 12ress0g 18652 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 0 = (0gβ€˜π»))
1410, 11, 13oveq123d 7429 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ) = (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
154, 14mpteq12dv 5239 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
16 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
1716, 2, 12, 7nmfval 24096 . . . . 5 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ))
1817reseq1i 5977 . . . 4 (𝑁 β†Ύ 𝐴) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴)
19 resmpt 6037 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
2018, 19eqtrid 2784 . . 3 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
21203ad2ant3 1135 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
22 eqid 2732 . . . 4 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
23 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
24 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
25 eqid 2732 . . . 4 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
2622, 23, 24, 25nmfval 24096 . . 3 (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
2726a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
2815, 21, 273eqtr4d 2782 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  distcds 17205  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624  normcnm 24084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-ds 17218  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-nm 24090
This theorem is referenced by:  zringnm  32933  rezh  32946
  Copyright terms: Public domain W3C validator