Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 32774
Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressnm.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3 0 = (0g𝐺)
ressnm.4 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2ressbas2 17221 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝐻))
433ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
52fvexi 6910 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65ssex 5322 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
7 eqid 2725 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
81, 7ressds 17394 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
1093ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11 eqidd 2726 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
131, 2, 12ress0g 18725 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝐻))
1410, 11, 13oveq123d 7440 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
154, 14mpteq12dv 5240 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
16 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
1716, 2, 12, 7nmfval 24541 . . . . 5 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
1817reseq1i 5981 . . . 4 (𝑁𝐴) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19 resmpt 6042 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
2018, 19eqtrid 2777 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21203ad2ant3 1132 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22 eqid 2725 . . . 4 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2725 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
25 eqid 2725 . . . 4 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
2622, 23, 24, 25nmfval 24541 . . 3 (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
2726a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
2815, 21, 273eqtr4d 2775 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944  cmpt 5232  cres 5680  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  s cress 17212  distcds 17245  0gc0g 17424  Mndcmnd 18697  normcnm 24529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-ds 17258  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-nm 24535
This theorem is referenced by:  zringnm  33687  rezh  33700
  Copyright terms: Public domain W3C validator