Theorem ressnm 33525

Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressnm.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressnm.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ressnm.4	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressnm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressnm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressnm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	ressbas2 17416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	2	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8	1, 7	ressds 17581	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
10	9	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12		ressnm.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12	ress0g 18954	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝐻))
14	10, 11, 13	oveq123d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
15	4, 14	mpteq12dv 5191	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
16		ressnm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
17	16, 2, 12, 7	nmfval 24907	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
18	17	reseq1i 5965	. . . 4 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19		resmpt 6028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
20	18, 19	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21	20	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
26	22, 23, 24, 25	nmfval 24907	. . 3 ⊢ (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
28	15, 21, 27	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  distcds 17437  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923  normcnm 24895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-ds 17450  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-nm 24901

This theorem is used by:  zringnm  34590  rezh  34601