Theorem ressnm 33458

Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressnm.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
ressnm.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ressnm.4	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ressnm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressnm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2		ressnm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	ressbas2 17377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝐻))
4	3	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
5	2	fvexi 6887	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8	1, 7	ressds 17542	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
10	9	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12		ressnm.3	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	1, 2, 12	ress0g 18915	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 0 = (0g‘𝐻))
14	10, 11, 13	oveq123d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
15	4, 14	mpteq12dv 5191	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
16		ressnm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
17	16, 2, 12, 7	nmfval 24868	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
18	17	reseq1i 5962	. . . 4 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19		resmpt 6027	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
20	18, 19	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21	20	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
26	22, 23, 24, 25	nmfval 24868	. . 3 ⊢ (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
28	15, 21, 27	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑁 ↾ 𝐴) = (norm‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5649  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  distcds 17398  0_gc0g 17571  Mndcmnd 18884  normcnm 24856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-ds 17411  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-nm 24862

This theorem is used by:  zringnm  34523  rezh  34534