Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 30649
 Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressnm.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
ressnm.3 0 = (0g𝐺)
ressnm.4 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2ressbas2 16555 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝐻))
433ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
52fvexi 6675 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65ssex 5211 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
7 eqid 2824 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
81, 7ressds 16686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
1093ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
11 eqidd 2825 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝑥 = 𝑥)
12 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
131, 2, 12ress0g 17939 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝐻))
1410, 11, 13oveq123d 7170 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥(dist‘𝐺) 0 ) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
154, 14mpteq12dv 5137 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
16 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
1716, 2, 12, 7nmfval 23198 . . . . 5 𝑁 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 ))
1817reseq1i 5836 . . . 4 (𝑁𝐴) = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴)
19 resmpt 5892 . . . 4 (𝐴𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
2018, 19syl5eq 2871 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
21203ad2ant3 1132 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺) 0 )))
22 eqid 2824 . . . 4 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
23 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2824 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
25 eqid 2824 . . . 4 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
2622, 23, 24, 25nmfval 23198 . . 3 (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻)))
2726a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (norm‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g𝐻))))
2815, 21, 273eqtr4d 2869 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (𝑁𝐴) = (norm‘𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  distcds 16574  0gc0g 16713  Mndcmnd 17911  normcnm 23186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-ds 16587  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-nm 23192 This theorem is referenced by:  zringnm  31258  rezh  31269
 Copyright terms: Public domain W3C validator