Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressnm 32680
Description: The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressnm.1 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
ressnm.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
ressnm.3 0 = (0gβ€˜πΊ)
ressnm.4 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
ressnm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))

Proof of Theorem ressnm
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressnm.1 . . . . 5 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
2 ressnm.2 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2ressbas2 17212 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
433ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
52fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
65ssex 5316 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
7 eqid 2728 . . . . . . 7 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
81, 7ressds 17385 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
1093ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
11 eqidd 2729 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ π‘₯ = π‘₯)
12 ressnm.3 . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
131, 2, 12ress0g 18716 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 0 = (0gβ€˜π»))
1410, 11, 13oveq123d 7436 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ) = (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
154, 14mpteq12dv 5234 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
16 ressnm.4 . . . . . 6 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
1716, 2, 12, 7nmfval 24491 . . . . 5 𝑁 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 ))
1817reseq1i 5976 . . . 4 (𝑁 β†Ύ 𝐴) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴)
19 resmpt 6036 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
2018, 19eqtrid 2780 . . 3 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
21203ad2ant3 1133 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯(distβ€˜πΊ) 0 )))
22 eqid 2728 . . . 4 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
23 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
24 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
25 eqid 2728 . . . 4 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
2622, 23, 24, 25nmfval 24491 . . 3 (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»)))
2726a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (normβ€˜π») = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ↦ (π‘₯(distβ€˜π»)(0gβ€˜π»))))
2815, 21, 273eqtr4d 2778 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑁 β†Ύ 𝐴) = (normβ€˜π»))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  distcds 17236  0gc0g 17415  Mndcmnd 18688  normcnm 24479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-ds 17249  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-nm 24485
This theorem is referenced by:  zringnm  33554  rezh  33567
  Copyright terms: Public domain W3C validator