Theorem cshf1o 33596

Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshf1o	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊)

Proof of Theorem cshf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrnid 33595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
2	1	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
3		wrddm 14696	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷)
6		f1eq2 6799	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷))
7	6	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷)
9		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)
11		cshf1 14992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷)
12	10, 11	mp3an3 1480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷)
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷)
14		f1eq2 6799	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1𝐷 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷))
15	14	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))⟶1-1𝐷) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1𝐷)
16	4, 13, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1𝐷)
17		f1f1orn 6861	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1𝐷 → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran (𝑊 cyclShift 𝑁))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran (𝑊 cyclShift 𝑁))
19		f1oeq3 6839	. . 3 ⊢ (ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran (𝑊 cyclShift 𝑁) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊))
20	19	biimpa 482	. 2 ⊢ ((ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊)
21	2, 18, 20	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊⟶1-1ontoran 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  dom cdm 5656  ran crn 5657  ⟶1-1wf1 6558  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  ℤcz 12723  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   cyclShift ccsh 14970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-csh 14971

This theorem is used by:  cycpmconjslem2  33792