Theorem cshf1o 31234

Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshf1o	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Proof of Theorem cshf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrnid 31233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
2	1	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
3		wrddm 14224	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
6		f1eq2 6666	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
7	6	biimpa 477	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
9		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)
11		cshf1 14523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
12	10, 11	mp3an3 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
14		f1eq2 6666	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
15	14	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
16	4, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
17		f1f1orn 6727	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
19		f1oeq3 6706	. . 3 ⊢ (ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊))
20	19	biimpa 477	. 2 ⊢ ((ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
21	2, 18, 20	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  dom cdm 5589  ran crn 5590  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-csh 14502

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  31422