Theorem cshf1o 33037

Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshf1o	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Proof of Theorem cshf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrnid 33036	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
2	1	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
3		wrddm 14474	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
6		f1eq2 6726	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
9		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)
11		cshf1 14763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
12	10, 11	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
13	8, 9, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
14		f1eq2 6726	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
16	4, 13, 15	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
17		f1f1orn 6785	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
19		f1oeq3 6764	. . 3 ⊢ (ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊))
20	19	biimpa 476	. 2 ⊢ ((ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
21	2, 18, 20	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5624  ran crn 5625  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   cyclShift ccsh 14741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-csh 14742

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33231