Theorem cshf1o 32891

Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshf1o	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Proof of Theorem cshf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrnid 32890	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
2	1	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
3		wrddm 14493	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
6		f1eq2 6755	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
9		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)
11		cshf1 14782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
12	10, 11	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
14		f1eq2 6755	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
16	4, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
17		f1f1orn 6814	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
19		f1oeq3 6793	. . 3 ⊢ (ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊))
20	19	biimpa 476	. 2 ⊢ ((ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
21	2, 18, 20	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5641  ran crn 5642  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   cyclShift ccsh 14760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-csh 14761

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33119