Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cshf1o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cshf1o 32391
Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
cshf1o ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
Proof of Theorem cshf1o
StepHypRef Expression
1 cshwrnid 32390 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 𝑁) = ran π‘Š)
213adant2 1129 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ran (π‘Š cyclShift 𝑁) = ran π‘Š)
3 wrddm 14477 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
433ad2ant1 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
5 simp2 1135 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
6 f1eq2 6784 . . . . . . 7 (dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷))
76biimpa 475 . . . . . 6 ((dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷)
84, 5, 7syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷)
9 simp3 1136 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
10 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘Š cyclShift 𝑁) = (π‘Š cyclShift 𝑁)
11 cshf1 14766 . . . . . 6 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁) = (π‘Š cyclShift 𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷)
1210, 11mp3an3 1448 . . . . 5 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷)
138, 9, 12syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷)
14 f1eq2 6784 . . . . 5 (dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷))
1514biimpar 476 . . . 4 ((dom π‘Š = (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁):(0..^(β™―β€˜π‘Š))–1-1→𝐷) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
164, 13, 15syl2anc 582 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
17 f1f1orn 6845 . . 3 ((π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 𝑁))
1816, 17syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 𝑁))
19 f1oeq3 6824 . . 3 (ran (π‘Š cyclShift 𝑁) = ran π‘Š β†’ ((π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 𝑁) ↔ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š))
2019biimpa 475 . 2 ((ran (π‘Š cyclShift 𝑁) = ran π‘Š ∧ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran (π‘Š cyclShift 𝑁)) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
212, 18, 20syl2anc 582 1 ((π‘Š ∈ Word 𝐷 ∧ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘Š cyclShift 𝑁):dom π‘Šβ€“1-1-ontoβ†’ran π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  β„€cz 12564  ..^cfzo 13633  β™―chash 14296  Word cword 14470   cyclShift ccsh 14744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745
This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  32582
  Copyright terms: Public domain W3C validator