Theorem cshf1o 32950

Description: Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cshf1o	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Proof of Theorem cshf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwrnid 32949	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
2	1	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊)
3		wrddm 14430	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
5		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
6		f1eq2 6720	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
7	6	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
8	4, 5, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
9		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)
11		cshf1 14719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
12	10, 11	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷)
14		f1eq2 6720	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):(0..^(♯‘𝑊))–1-1→𝐷) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
16	4, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷)
17		f1f1orn 6779	. . 3 ⊢ ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1→𝐷 → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁))
19		f1oeq3 6758	. . 3 ⊢ (ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 → ((𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ↔ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊))
20	19	biimpa 476	. 2 ⊢ ((ran (𝑊 cyclShift 𝑁) = ran 𝑊 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran (𝑊 cyclShift 𝑁)) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)
21	2, 18, 20	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁):dom 𝑊–1-1-onto→ran 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5619  ran crn 5620  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  ℤcz 12475  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   cyclShift ccsh 14697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-csh 14698

This theorem is referenced by:  cycpmconjslem2  33131