Theorem rhmsubcALTVlem1 48202

Description: Lemma 1 for rhmsubcALTV 48206. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
2		ovex 7465	. . . 4 ⊢ (𝑥 GrpHom 𝑦) ∈ V
3	2	inex1 5316	. . 3 ⊢ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8096	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		dfrhm2 20475	. . . . . 6 ⊢ RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
9	8	reseq1d 5995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) = ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)))
10		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
11		inss1 4236	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
12	10, 11	eqsstrdi 4027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
13		resmpo 7554	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
14	12, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
15	6, 9, 14	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
16	15	fneq1d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)))
17	4, 16	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950   × cxp 5682   ↾ cres 5686   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434   MndHom cmhm 18795   GrpHom cghm 19231  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231   RingHom crh 20470  RngCatALTVcrngcALTV 48184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mhm 18797  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rhm 20473

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48206