Theorem rhmsubcALTVlem1 48223

Description: Lemma 1 for rhmsubcALTV 48227. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTVlem1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Proof of Theorem rhmsubcALTVlem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
2		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑥 GrpHom 𝑦) ∈ V
3	2	inex1 5292	. . 3 ⊢ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8074	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		dfrhm2 20439	. . . . . 6 ⊢ RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
9	8	reseq1d 5970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) = ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)))
10		rngcrescrhmALTV.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
11		inss1 4217	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
12	10, 11	eqsstrdi 4008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
13		resmpo 7532	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
14	12, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
15	6, 9, 14	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
16	15	fneq1d 6636	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)))
17	4, 16	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   × cxp 5657   ↾ cres 5661   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412   MndHom cmhm 18764   GrpHom cghm 19200  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198   RingHom crh 20434  RngCatALTVcrngcALTV 48205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mhm 18766  df-ghm 19201  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-rhm 20437

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTV  48227