Theorem rhmsubclem1 20773

Description: Lemma 1 for rhmsubc 20777. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem1	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Proof of Theorem rhmsubclem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2770	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
2		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 GrpHom 𝑦) ∈ V
3	2	inex1 5291	. . 3 ⊢ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8070	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)
5		rngcrescrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		dfrhm2 20559	. . . . . 6 ⊢ RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦))))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → RingHom = (𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
9	8	reseq1d 5981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) = ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)))
10		rngcrescrhm.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
11		inss1 4197	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
12	10, 11	eqsstrdi 3989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
13		resmpo 7534	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
14	12, 12, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ Ring, 𝑦 ∈ Ring ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
15	6, 9, 14	3eqtrd 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))))
16	15	fneq1d 6632	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑥 GrpHom 𝑦) ∩ ((mulGrp‘𝑥) MndHom (mulGrp‘𝑦)))) Fn (𝑅 × 𝑅)))
17	4, 16	mpbiri 261	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   × cxp 5663   ↾ cres 5667   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   MndHom cmhm 18842   GrpHom cghm 19286  mulGrpcmgp 20219  Ringcrg 20318   RingHom crh 20554  RngCatcrngc 20704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-0g 17497  df-mhm 18844  df-ghm 19287  df-mgp 20220  df-ur 20267  df-ring 20320  df-rhm 20557

This theorem is referenced by:  rhmsubc  20777