Theorem gsummulc2OLD 20313

Description: Obsolete version of gsummulc2 20315 as of 7-Mar-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1OLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1OLD.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1OLD.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulc1OLD.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1OLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1OLD.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1OLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1OLD.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1OLD.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc2OLD	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc2OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1OLD.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1OLD.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1OLD.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20280	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		ringmnd 20241	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsummulc1OLD.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsummulc1OLD.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulc1OLD.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ringlghm 20310	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12	3, 9, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
13		ghmmhm 19245	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
15		gsummulc1OLD.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		gsummulc1OLD.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
17		oveq2 7440	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · 𝑋))
18		oveq2 7440	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
19	1, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18	gsummhm2 19958	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795   GrpHom cghm 19231  CMndccmn 19799  Ringcrg 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233

This theorem is referenced by: (None)