![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gsummulc2OLD | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Obsolete version of gsummulc2 20235 as of 7-Mar-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
gsummulc1OLD.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
gsummulc1OLD.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
gsummulc1OLD.p | โข + = (+gโ๐ ) |
gsummulc1OLD.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
gsummulc1OLD.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
gsummulc1OLD.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
gsummulc1OLD.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
gsummulc1OLD.x | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) |
gsummulc1OLD.n | โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) |
Ref | Expression |
---|---|
gsummulc2OLD | โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | gsummulc1OLD.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
2 | gsummulc1OLD.z | . 2 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
3 | gsummulc1OLD.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
4 | ringcmn 20200 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ CMnd) | |
5 | 3, 4 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ CMnd) |
6 | ringmnd 20167 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Mnd) | |
7 | 3, 6 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Mnd) |
8 | gsummulc1OLD.a | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
9 | gsummulc1OLD.y | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
10 | gsummulc1OLD.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
11 | 1, 10 | ringlghm 20230 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ GrpHom ๐ )) |
12 | 3, 9, 11 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ GrpHom ๐ )) |
13 | ghmmhm 19164 | . . 3 โข ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ GrpHom ๐ ) โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ MndHom ๐ )) | |
14 | 12, 13 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) โ (๐ MndHom ๐ )) |
15 | gsummulc1OLD.x | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ โ ๐ต) | |
16 | gsummulc1OLD.n | . 2 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โฆ ๐) finSupp 0 ) | |
17 | oveq2 7422 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท ๐)) | |
18 | oveq2 7422 | . 2 โข (๐ฅ = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)) โ (๐ ยท ๐ฅ) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) | |
19 | 1, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18 | gsummhm2 19878 | 1 โข (๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ (๐ ยท ๐))) = (๐ ยท (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ด โฆ ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 โฆ cmpt 5225 โcfv 6542 (class class class)co 7414 finSupp cfsupp 9375 Basecbs 17165 +gcplusg 17218 .rcmulr 17219 0gc0g 17406 ฮฃg cgsu 17407 Mndcmnd 18679 MndHom cmhm 18723 GrpHom cghm 19151 CMndccmn 19719 Ringcrg 20157 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8158 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8716 df-map 8836 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-fsupp 9376 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-2 12291 df-n0 12489 df-z 12575 df-uz 12839 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-seq 13985 df-hash 14308 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-plusg 17231 df-0g 17408 df-gsum 17409 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-mhm 18725 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-ghm 19152 df-cntz 19252 df-cmn 19721 df-abl 19722 df-mgp 20059 df-ur 20106 df-ring 20159 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |