Theorem gsummulc2 20597

Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) Remove unused hypothesis. (Revised by SN, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc2	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20564	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5		ringmnd 20521	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
7		gsummulc1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummulc1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummulc1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ringlghm 20594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
11	3, 8, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12		ghmmhm 19490	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14		gsummulc1.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		gsummulc1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
16		oveq2 7459	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · 𝑋))
17		oveq2 7459	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
18	1, 2, 4, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	gsummhm2 20204	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   finSupp cfsupp 9391  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026   GrpHom cghm 19477  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512

This theorem is used by:  gsumdixp  20599  frlmphl  22142  psrass1  22326  psrass23l  22329  psrass23  22331  mamuass  22772  mamuvs1  22775  mamuvs2  22776  mavmulass  22919  mdetrsca  22973  matunitlindflem1  23049  cpmadugsumlemB  23247  cpmadugsumlemC  23248  amgmlem  27374  fldextrspunlsplem  34416  mdetpmtr1  34566  mhphf  43891