Theorem gsummulc2 20331

Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) Remove unused hypothesis. (Revised by SN, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc2	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20298	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5		ringmnd 20261	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
7		gsummulc1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummulc1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummulc1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ringlghm 20326	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
11	3, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12		ghmmhm 19257	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14		gsummulc1.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		gsummulc1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
16		oveq2 7439	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · 𝑋))
17		oveq2 7439	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))
18	1, 2, 4, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	gsummhm2 19972	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807   GrpHom cghm 19243  Ringcrg 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20333  frlmphl  21819  psrass1  22002  psrass23l  22005  psrass23  22007  mamuass  22422  mamuvs1  22425  mamuvs2  22426  mavmulass  22571  mdetrsca  22625  cpmadugsumlemB  22896  cpmadugsumlemC  22897  amgmlem  27048  mdetpmtr1  33784  matunitlindflem1  37603  mhphf  42584