Theorem rpnnen1lem6 12027

Description: Lemma for rpnnen1 12028. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem6	⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6827	. 2 ⊢ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∈ V
2		rpnnen1lem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem1 12023	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
7		rneq 5488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
8	7	supeq1d 8512	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
9	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem5 12026	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥)
10		fveq2 6333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	rneqd 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
12	11	supeq1d 8512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
14	12, 13	eqeq12d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥 ↔ sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦))
15	14, 9	vtoclga 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦)
16	9, 15	eqeqan12d 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	syl5ib 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17, 10	impbid1 215	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	dom2 8156	. 2 ⊢ ((ℚ ↑𝑚 ℕ) ∈ V → ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
20	1, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ran crn 5251  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑_𝑚 cmap 8013   ≼ cdom 8111  supcsup 8506  ℝcr 10141   < clt 10280   / cdiv 10890  ℕcn 11226  ℤcz 11584  ℚcq 11996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-q 11997

This theorem is referenced by:  rpnnen1  12028