Theorem rpnnen1lem6 13065

Description: Lemma for rpnnen1 13066. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem6	⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7442	. 2 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ∈ V
2		rpnnen1lem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem1 13061	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
7		rneq 5915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
8	7	supeq1d 9416	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
9	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem5 13064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥)
10		fveq2 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	rneqd 5917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
12	11	supeq1d 9416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
13		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
14	12, 13	eqeq12d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥 ↔ sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦))
15	14, 9	vtoclga 3536	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦)
16	9, 15	eqeqan12d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17, 10	impbid1 228	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	dom2 9001	. 2 ⊢ ((ℚ ↑m ℕ) ∈ V → ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ))
20	1, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5649  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826   ≼ cdom 8950  supcsup 9410  ℝcr 11156   < clt 11300   / cdiv 11928  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ℚcq 13030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-q 13031

This theorem is used by:  rpnnen1  13066