Theorem rpnnen1lem6 12927

Description: Lemma for rpnnen1 12928. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem6	⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7393	. 2 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ∈ V
2		rpnnen1lem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem1 12923	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
7		rneq 5885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
8	7	supeq1d 9353	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
9	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem5 12926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥)
10		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	rneqd 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
12	11	supeq1d 9353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
14	12, 13	eqeq12d 2757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥 ↔ sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦))
15	14, 9	vtoclga 3522	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦)
16	9, 15	eqeqan12d 2755	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	imbitrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17, 10	impbid1 227	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	dom2 8936	. 2 ⊢ ((ℚ ↑m ℕ) ∈ V → ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ))
20	1, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767   ≼ cdom 8885  supcsup 9347  ℝcr 11032   < clt 11174   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℚcq 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-q 12894

This theorem is referenced by:  rpnnen1  12928