Theorem rpnnen1lem1 12879

Description: Lemma for rpnnen1 12884. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem1	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	mptex 7159	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4	3	fvmpt2 6941	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
5	2, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
6		rpnnen1lem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
7		ssrab2 4031	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstri 3982	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℤ)
10		nnre 12135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
11		remulcl 11094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
14		btwnz 12579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
17		zre 12475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		nngt0 12159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
21	10, 20	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
23		ltdivmul 12000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
24	18, 19, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
25	24	rexbidva 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
26	16, 25	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
27		rabn0 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
29	6	neeq1i 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
30	28, 29	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
31	6	reqabi 3418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
32	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32, 19, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
34		ltle 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
35	18, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
36	24, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
37	36	impr 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
38	31, 37	sylan2b 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
39	38	ralrimiva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
40		breq2 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
41	40	ralbidv 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
42	41	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
43	13, 39, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
44		suprzcl 12556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℤ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
45	9, 30, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
46	8, 45	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
47		znq 12853	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
48	46, 47	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
49		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
50	48, 49	fmptd 7048	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
51		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
52	51, 1	elmap 8798	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
53	50, 52	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
54	5, 53	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  supcsup 9330  ℝcr 11008  0cc0 11009   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ℤcz 12471  ℚcq 12849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-q 12850

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem3  12880  rpnnen1lem4  12881  rpnnen1lem5  12882  rpnnen1lem6  12883