MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem1 12958
Description: Lemma for rpnnen1 12963. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem rpnnen1lem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . 4 β„• ∈ V
21mptex 7221 . . 3 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
43fvmpt2 7006 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
52, 4mpan2 689 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
6 rpnnen1lem.1 . . . . . . 7 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
7 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} βŠ† β„€
86, 7eqsstri 4015 . . . . . 6 𝑇 βŠ† β„€
98a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 βŠ† β„€)
10 nnre 12215 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
11 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
1211ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
1310, 12sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
14 btwnz 12661 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (π‘˜ Β· π‘₯) < 𝑛))
1514simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
17 zre 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
19 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
20 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
2110, 20jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
23 ltdivmul 12085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2418, 19, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2524rexbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2616, 25mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
27 rabn0 4384 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
2826, 27sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
296neeq1i 3005 . . . . . . . 8 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
3028, 29sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
316reqabi 3454 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯))
3210ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3332, 19, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
34 ltle 11298 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
3518, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
3624, 35sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
3736impr 455 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3831, 37sylan2b 594 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3938ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
40 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
4140ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
4241rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
4313, 39, 42syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
44 suprzcl 12638 . . . . . . 7 ((𝑇 βŠ† β„€ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
459, 30, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
468, 45sselid 3979 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€)
47 znq 12932 . . . . 5 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ β„š)
4846, 47sylancom 588 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ β„š)
49 eqid 2732 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
5048, 49fmptd 7110 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)):β„•βŸΆβ„š)
51 rpnnen1lem.q . . . 4 β„š ∈ V
5251, 1elmap 8861 . . 3 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)):β„•βŸΆβ„š)
5350, 52sylibr 233 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ (β„š ↑m β„•))
545, 53eqeltrd 2833 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„šcq 12928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-q 12929
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem3  12959  rpnnen1lem4  12960  rpnnen1lem5  12961  rpnnen1lem6  12962
  Copyright terms: Public domain W3C validator