Theorem rpnnen1lem1 13061

Description: Lemma for rpnnen1 13066. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem1	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	mptex 7218	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4	3	fvmpt2 6994	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
5	2, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
6		rpnnen1lem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
7		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℤ)
10		nnre 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
11		remulcl 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
14		btwnz 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
15	14	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
17		zre 12652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
21	10, 20	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
22	21	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
23		ltdivmul 12147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
24	18, 19, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
25	24	rexbidva 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
26	16, 25	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
27		rabn0 4339	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
28	26, 27	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
29	6	neeq1i 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
30	28, 29	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
31	6	reqabi 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
32	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32, 19, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
34		ltle 11355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
35	18, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
36	24, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
37	36	impr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
38	31, 37	sylan2b 606	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
39	38	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
40		breq2 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
41	40	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
42	41	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
43	13, 39, 42	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
44		suprzcl 12734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℤ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
45	9, 30, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
46	8, 45	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
47		znq 13034	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
48	46, 47	sylancom 600	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
50	48, 49	fmptd 7103	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
51		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
52	51, 1	elmap 8878	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
53	50, 52	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
54	5, 53	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  supcsup 9410  ℝcr 11156  0cc0 11157   · cmul 11162   < clt 11300   ≤ cle 11301   / cdiv 11928  ℕcn 12290  ℤcz 12648  ℚcq 13030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-q 13031

This theorem is used by:  rpnnen1lem3  13062  rpnnen1lem4  13063  rpnnen1lem5  13064  rpnnen1lem6  13065