Theorem seqfeq2 13816

Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqfveq2.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqfveq2.2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
seqfeq2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
seqfeq2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqfveq2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12657	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		seqfn 13803	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
5		uzss 12675	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7		fnssres 6591	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) Fn (ℤ≥‘𝐾))
9		eluzelz 12662	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		seqfn 13803	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
11	1, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ≥‘𝐾))
12		fvres 6828	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
14	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		seqfveq2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
17		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
18		elfzuz 13322	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
19		seqfeq2.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
20	18, 19	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
21	20	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
22	14, 16, 17, 21	seqfveq2 13815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
23	13, 22	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
24	8, 11, 23	eqfnfvd 6949	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3896   ↾ cres 5607   Fn wfn 6458  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  1c1 10942   + caddc 10944  ℤcz 12389  ℤ_≥cuz 12652  ...cfz 13309  seqcseq 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-seq 13792

This theorem is referenced by:  seqid  13838