Theorem seqid 14057

Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
seqid.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seq1 14024	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
5		seqeq1 14014	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
6	5	fveq1d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
7	6	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
8	4, 7	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
9		eluzel2 12841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		seqm1 14029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
12	10, 11	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
13		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
14		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
15	13, 14	eqeq12d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
16		seqid.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
17	16	ralrimiva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
18		seqid.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
19	15, 17, 18	rspcdva 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
21		eluzp1m1 12862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	10, 21	sylan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		seqid.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
24	23	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
25	20, 22, 24	seqid3 14056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
26	25	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
27		oveq2 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
28		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → 𝑥 = (𝐹‘𝑁))
29	27, 28	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
30	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31		seqid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
32	31	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	rspcdva 3582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
34	12, 26, 33	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
35	34	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
36		uzp1 12873	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
37	1, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
38	8, 35, 37	mpjaod 871	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
39		eqidd 2762	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	1, 38, 39	seqfeq2 14035	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   + caddc 11073   − cmin 11411  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  seqcseq 14011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-seq 14012

This theorem is referenced by:  seqcoll  14474  sumrblem  15721  prodrblem  15942  logtayl  26702  leibpilem2  26983