Theorem seqid 13233

Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
seqid.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12071	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seq1 13200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
5		seqeq1 13190	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
6	5	fveq1d 6503	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
7	6	eqeq1d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
8	4, 7	syl5ibcom 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
9		eluzel2 12066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		seqm1 13205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
12	10, 11	sylan 572	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
13		oveq2 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
14		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
15	13, 14	eqeq12d 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
16		seqid.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
17	16	ralrimiva 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
18		seqid.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
19	15, 17, 18	rspcdva 3541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
20	19	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
21		eluzp1m1 12085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	10, 21	sylan 572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		seqid.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
24	23	adantlr 702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
25	20, 22, 24	seqid3 13232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
26	25	oveq1d 6993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
27		oveq2 6986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
28		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → 𝑥 = (𝐹‘𝑁))
29	27, 28	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
30	17	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31		seqid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
32	31	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	rspcdva 3541	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
34	12, 26, 33	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
35	34	ex 405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
36		uzp1 12096	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
37	1, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
38	8, 35, 37	mpjaod 846	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
39		eqidd 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	1, 38, 39	seqfeq2 13211	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088   ↾ cres 5410  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  1c1 10338   + caddc 10340   − cmin 10672  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061  ...cfz 12711  seqcseq 13187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-seq 13188

This theorem is referenced by:  seqcoll  13638  sumrblem  14931  prodrblem  15146  logtayl  24947  leibpilem2  25224