MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqid 14089
Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid.1 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2 (𝜑𝑍𝑆)
seqid.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqid.4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqid (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid
StepHypRef Expression
1 seqid.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 12889 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seq1 14056 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5 seqeq1 14046 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
65fveq1d 6907 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
76eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
84, 7syl5ibcom 245 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
9 eluzel2 12884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 seqm1 14061 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
1210, 11sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
13 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
1513, 14eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
16 seqid.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
1716ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
18 seqid.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑆)
1915, 17, 18rspcdva 3622 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
21 eluzp1m1 12905 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2210, 21sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
23 seqid.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2423adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2520, 22, 24seqid3 14088 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
2625oveq1d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
27 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
28 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → 𝑥 = (𝐹𝑁))
2927, 28eqeq12d 2752 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
3017adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31 seqid.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
3231adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
3329, 30, 32rspcdva 3622 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
3412, 26, 333eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
3534ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
36 uzp1 12920 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
371, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
388, 35, 37mpjaod 860 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
39 eqidd 2737 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
401, 38, 39seqfeq2 14067 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044
This theorem is referenced by:  seqcoll  14504  sumrblem  15748  prodrblem  15966  logtayl  26703  leibpilem2  26985
  Copyright terms: Public domain W3C validator