Theorem seqid 14074

Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqid.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
seqid.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqid.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
seqid	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seq1 14041	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
5		seqeq1 14031	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
6	5	fveq1d 6873	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
7	6	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
8	4, 7	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
9		eluzel2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		seqm1 14046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
12	10, 11	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
13		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
14		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
15	13, 14	eqeq12d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
16		seqid.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
17	16	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
18		seqid.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
19	15, 17, 18	rspcdva 3585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
21		eluzp1m1 12879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	10, 21	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		seqid.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
24	23	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
25	20, 22, 24	seqid3 14073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
26	25	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
27		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
28		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → 𝑥 = (𝐹‘𝑁))
29	27, 28	eqeq12d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
30	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31		seqid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
32	31	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
33	29, 30, 32	rspcdva 3585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
34	12, 26, 33	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
35	34	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
36		uzp1 12890	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
37	1, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
38	8, 35, 37	mpjaod 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
39		eqidd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	1, 38, 39	seqfeq2 14052	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  seqcseq 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029

This theorem is referenced by:  seqcoll  14491  sumrblem  15752  prodrblem  15973  logtayl  26783  leibpilem2  27064