Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqid 13415
 Description: Discarding the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or any element which is a left-identity for +) has no effect on its sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid.1 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
seqid.2 (𝜑𝑍𝑆)
seqid.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqid.4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
seqid.5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqid (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Proof of Theorem seqid
StepHypRef Expression
1 seqid.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 12245 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seq1 13381 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
5 seqeq1 13371 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
65fveq1d 6651 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
76eqeq1d 2803 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
84, 7syl5ibcom 248 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
9 eluzel2 12240 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 seqm1 13387 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
1210, 11sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
13 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
14 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍𝑥 = 𝑍)
1513, 14eqeq12d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
16 seqid.1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
1716ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
18 seqid.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑆)
1915, 17, 18rspcdva 3576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
21 eluzp1m1 12260 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2210, 21sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
23 seqid.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2423adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
2520, 22, 24seqid3 13414 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
2625oveq1d 7154 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
27 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹𝑁)))
28 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑁) → 𝑥 = (𝐹𝑁))
2927, 28eqeq12d 2817 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁)))
3017adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
31 seqid.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
3231adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑁) ∈ 𝑆)
3329, 30, 32rspcdva 3576 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
3412, 26, 333eqtrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
3534ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁)))
36 uzp1 12271 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
371, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
388, 35, 37mpjaod 857 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
39 eqidd 2802 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
401, 38, 39seqfeq2 13393 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   − cmin 10863  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  seqcseq 13368 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369 This theorem is referenced by:  seqcoll  13822  sumrblem  15063  prodrblem  15278  logtayl  25254  leibpilem2  25530
 Copyright terms: Public domain W3C validator